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ミーゼスの降伏条件で以下のような式に至る理由が分かりません!

ミーゼスの降伏条件:
 (σ1-σ2)^2+(σ2-σ3)^2+(σ3-σ1)^2=2σy^2


どうやって導き出したのでしょうか?ひずみエネルギーからなのでしょうか?
塑性力学の本やネットを探し回っても分からなかったので、分かる方、是非ご回答下さい。よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

ミーゼスの応力は、金属材料において、


「ある部位の、せん断に起因する歪エネルギー密度Usが、降伏応力(または耐力)に対応する値に達したとき、降伏が始まる」
という仮説に基づいて、導入されました。
この仮説には、
「静水圧のみが、いくら作用しても、降伏は発生しない」
という意味が込められていますが、このことは、実験で確認されました。

以上を式で表してみましょう。

全歪エネルギー密度Uから、静水圧に起因する歪エネルギー密度Upを差し引けば、せん断に起因する歪エネルギー密度Usが得られます。
要するに、
Us=U-Up ・・・(1)
です。

主応力を、
σ1、σ2、σ3、
これらによって発生する歪を、
γ1、γ2、γ3
として、Uを表せば、
2U=σ1・γ1+σ2・γ2+σ3・γ3 ・・・(2)
これに、フックの法則、
ε1=(σ1-νσ2-νσ3)/E etc ・・・(3)
を適用すれば、応力だけの式に書き換えられます。

また、応力の静水圧成分をσp、σpによって発生する歪成分をεpとすれば、
2Up=σp・γp
σp=(σ1+σ2+σ3)/3 ・・・(4)
εpは、式(3)において、
σ1=σ2=σ3=σp、ε1=εp ・・・(5)
と置くことによって、得られます。
εp=(1-2ν)σp/E ・・・(6)

式(1)(を2倍したもの)
2Us=2U-2Up
に、せん断弾性係数Gと縦弾性係数Eの関係
E=2(1+ν)G ・・・(7)
を適用すると、
2Us={(σ1-σ2)2+(σ2-σ3)2+(σ3-σ1)2}/6G ・・・(8)
となり、ミーゼスの応力の表示式の主要な部分が見えてきます。

ミーゼスの応力は、3軸の応力σ1、σ2、σ3と等価な1軸の引張圧縮応力をσm(=あなたのσy)とするもので、(8)において、
σ1=σm、σ2=0、σ3=0 ・・・(9)
と置けば良く、結果は
2Us=2σm ^2/6G ・・・(10)
となります。

あとは、式(8)と式(10)を等置すれば、おしまい!!
あなたのレベルからすると、ちょっと親切過ぎたかも知れませんね(^^
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この回答へのお礼

とても親切な御回答ありがとうございます☆
大変良くわかりました☆☆☆

お礼日時:2009/11/04 13:30

トレスカの降伏条件ないし2次元ミーゼス降伏条件を


3次元ミーゼス降伏条件に適用したモデルの論文に詳しいです。
CiNii検索にてPDFが入手できます。

シェルのMises型降伏条件について
Yield Condition of Shells based on von Mises' Model
著:倉田 光春, 倉田 博, 森 修(日本大学)
学術講演梗概集. 構造系
58(構造系) pp.1147-1148 19830908
社団法人日本建築学会
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この回答へのお礼

ありがとうございます!
見てみます!

お礼日時:2009/10/20 12:21

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