群とか環、体、素イデアルについて

群とか環、体、素イデアルはかなり大学の数学で理解するようにと重視されてるのですが、これらを知ることで何がどう応用できるのですか？
正直私は群、環を深く学んだからと言って何がどう分かるのか分かりません。とくに正規部分群とかなんのためにあるかも分かりません。
微分積分を深く(私が今後専門とする分野)学ぶのなら、とくに群、環を深く
やる必要はないですよね？

No.2 ベストアンサー 回答者： kabaokaba 回答日時： 2009/10/21 22:44

＞微分積分を深く(私が今後専門とする分野)学ぶのなら、とくに群、環を深く

＞やる必要はないですよね？

そう思ってるならそうすればいい．
あとで大後悔というか，何も分からなくなるのは必定．
そもそも「微分積分」だけで
「専門」になると思ってるのが大間違い．
代数ってのは数学の言葉だから言葉なしですむと思うの？

ちなみに「微分積分」を「解析」と置き換えてみると・・・
解析だって代数の言葉も幾何の言葉も使う．
たとえば・・・
・代数解析：佐藤超関数を使うあたりだけども
偏微分方程式を相手にするのに，
層係数コホモロジー群というような幾何の言葉をどんどん使う
（基本的な「圏の理論」も知ってるといい）．
これは代数の，一般的には群の言葉で書かれる．
・関数解析：これも偏微分方程式とかに絡むけど，
無限次元空間（関数のなす空間）の線型代数の趣きがある．
・作用素環論：名前のとおり「環」．関数空間上に作用する
有界線型作用素のなす集合に環の構造やノルムをいれたりする．
もちろん環の言葉で書かれる．

解析ってのは「無限次元」を扱う側面が強いわけで
こういうのを相手にするときには，代数の言葉で何でも
記述して代数の抽象性を最大限につかうものなのです．

この回答へのお礼

たしかに、私も「・・・の分野では絶対に使わないから」とすぐに思いこんでしまうのは悪いところです。これを「・・・の分野で使わなくてももしかしたら、必要となってくるかもしれないから今学ばなくてはいけない」といった考えを持つようがんばります。回答ありがとうございます

お礼日時：2009/10/25 19:22

No.1 回答者： Rice-Etude 回答日時： 2009/10/21 14:50

以前にも同じような回答したことがあるのですが、例えば私が仕事としている情報セキュリティの分野では暗号や電子署名といったプリミティブの部分で群、環、体といった概念が非常に重要となってきます。

この概念のおかげで、インターネット上で安全な通信を確保したり、身元保証をおこなったりできるようになります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。私も必ず関係ないからと思わず、頑張っていきます。

お礼日時：2009/10/25 19:19