直角を含まない三角形の角度の求め方

数学はまったくの初心者です。

AOの距離をa
OBの距離をb

としたときのθの求め方をなるべく簡潔に教えてください。

当方、数学はまったくの初心者ですので、わかりやすい解説などもあるとありがたいです。

No.6 ベストアンサー 回答者： staratras 回答日時： 2009/10/27 01:16

a≠bということは、ご質問の図のように点Oを中心とし、A、Bを通る円は存在しないということですね。

角AOB＝α、AB＝xとします。
余弦定理からx＾２＝ａ＾２＋b＾２ー２abcosα
よってx=√（ａ＾２＋b＾２ー２abcosα）…（１）
3角形OABの面積から(１/２)absinα=(１/２)axsinθ
よってxsinθ=bsinα
sinθ=（bsinα）/x　（１）を代入して
sinθ＝（bsinα）/√（ａ＾２＋b＾２ー２abcosα）
θはsinθが上の式を満たす値です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

私のつたない文章から、質問の意図をくみとって頂き誠にありがとうございました。

また、お礼が遅くなり、大変申し訳ありませんでした。
教えて頂いた回答をもとに、式の意味を理解しようと自分なりに勉強しておりました。

先の方のお礼にも書いたのですが、数学ほど難解で専門的な分野はないと実感しております。
すばらしい才能をお持ちですね。
20ポイントのお礼では本当に足りないくらいです。ありがとうございました。

お礼日時：2009/10/27 22:16

No.5 回答者： gohtraw 回答日時： 2009/10/27 01:10

＃２です。

早とちり致しました。
角ＡＯＢがわかっているのであれば余弦定理から
ＡＢ＾２＝ａ＾２ + ｂ＾２－２ａｂ＊ｃｏｓ（角ＡＯＢ）
であり、さらに余弦定理で
ｂ＾２＝ａ＾２＋ＡＢ＾２－２ａ＊ＡＢ＊ｃｏｓθ
なのでこれら二つの式からθを求めることができます。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

「＾２」の意味がわからなかったのですが、いろいろ調べて二乗という意味がわかりました。

世の中には色んな専門職がありますが、数学ほど難解で専門的な分野はないと実感しております。頭の下がる思いです。
ありがとうございました。

お礼日時：2009/10/27 22:07

No.4 回答者： info22 回答日時： 2009/10/27 01:09

#3です。

>角AOBの角度がわかっています。

∠AOBをα[°]とすれば
θ＝90°－(α/2)　[°]
で計算できます。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
私の説明が至らなかったことに関して、本当に申し訳ない気持ちでいっぱいです。

なるほど、普通の人なら（180-α）÷2と表記するところですが、そこをあえて
θ＝90°－(α/2)　[°]
と表記するのですね。
数式には美しさがあるのだと実感しました。

とても頭のいい方から回答を頂きましたこと、深く感謝致します。
ありがとうございました。

お礼日時：2009/10/27 22:02

No.3 回答者： info22 回答日時： 2009/10/27 00:31

与えられた条件だけでは

θは求められません。

弦の長さABをcとして与えれば
a*cosθ=c/2
となるので
cosθ=c/(2a)
θ=arccos(c/(2a))[ラジアン]
　=(180/π)arccos(c/(2a))[°]
となります。

たとえば
c=2,a=b=2とすれば
θ=arccos(2/4)=arccos(1/2)=π/3[ラジアン]
　=(180/π)(π/3)=60[°]
となります。
πは円周率の3.14159... です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

角AOBの角度がわかっています。
aとbの長さがわかり、角AOBの角度がわかっている場合は求められるでしょうか？

お礼日時：2009/10/27 00:37

No.2 回答者： gohtraw 回答日時： 2009/10/27 00:27

点Ｏは円の中心で、点ＡとＢは円周上の点ですよね。

だとすると、ＯＡとＯＢは等しくていずれもこの円の半径です。なお、これだけではθを求めることはできません。以下推定ですが、
（１）角ＡＯＢが与えられている場合
　△ＯＡＢは角Ｂ＝角Ａの二等辺三角形なので２θ＋角ＡＯＢ＝１８０°です。よってθ＝（１８０°－角ＡＯＢ）／２
（２）ＡＢの長さが与えられている場合
　円の半径をｒとすると、ＡＢ＝２＊ｒ＊ｃｏｓθなのでｃｏｓθ＝ＡＢ／２／ｒとなり、これを解くとθが求められます。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

私の作図が変で申し訳ないです。
点Bは円周上の点ではありません。

aの長さはbの長さと等しくありません。
ちなみに角AOBがわかっています。

質問の仕方でその人のレベルがわかるといいますが、
私の質問は本当になっていませんね。申し訳ないです。

お礼日時：2009/10/27 00:40

No.1 回答者： Biyoooooon 回答日時： 2009/10/27 00:22

aとbはともに円の半径ですから、二等辺三角形です。

中心角∠BOAの角度が分かれば、それを三角形の内角の和180°から引き、２で割れば良いのだと思いますが、ご質問の意図と違っていましたらすみません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

私の作図が少し間違ってましたね。すみません。
a ノットイコール b　の場合です。
距離のみから角度を算出したいのです。

お礼日時：2009/10/27 00:25