格子点の問題です

P(m,0,0) Q(0,m,0) R(0,0,2m)のなす三角形ＰＱＲ上にある格子点の個数a(m)を求めよ。お願いします

No.4 回答者： nag0720 回答日時： 2009/11/04 16:48

３点を通る平面の式は、

2x+2y+z=2m
三角形上にあるためには、
x≧0,y≧0,z≧0

zは偶数なので、x+y=m-z/2
zを固定すると、x,yの組は、m-z/2+1個あります。
i=z/2とおくと、s(m)は上記の数を、iを0からmまで合計することになります。
s(m)=Σ[i=0…m](m-i+1)=(m+1)(m+2)/2

No.3 回答者： cnocc 回答日時： 2009/11/04 14:31

z軸の値を固定させて考える

z=奇数の時、三角形ＰＱＲ上の直線はy=-x+1/2*奇数
この直線状に格子点はないため考えない
z=偶数の時、三角形ＰＱＲ上の直線はy=-x+1/2*偶数
この直線状には格子点が存在するため考える
z=2m-2nの時、三角形ＰＱＲ上の直線はy=-x+1/2*nとなり、この直線上には
n+1個の格子点が存在する。いまzは0から2mまでの偶数を取りうる。よって（省略）a(m)={(1/2)*m+1}*(m+1)}
＜自信はありません。＞

No.2 回答者： cnocc 回答日時： 2009/11/04 12:57

すいません

問題勘違いしました。
後でやり直してみます

No.1 回答者： cnocc 回答日時： 2009/11/04 12:56

{(1/2)*m+1}*(m+1)ですかね？自信ないですけど

ｚ軸方向を固定して考える
z=m-nのときの三角形上の直線はy=-x+n
y=-x+n上の格子点の数はn+1
nを0からｍまでずらしてやると
a(m)=Σ(n+1)(０からmまで)となりこれを計算すると{(1/2)*m+1}*(m+1)
mを勝手に整数としているし自信もありません