2 x - y を最大にする方法 (x≦y かつ 0≦x+y≦2で)

x ≦ y かつ 0 ≦ x + y ≦ 2 という条件の下で

● f ＝ 2 x - y

を最大化する x, y を求める方法はないでしょうか？

いろいろ試行錯誤をして

「 x = y = 1 が答えらしい」

ということは何となく分かってきたのですが、すっきりと解く方法が分かりません。

よろしくおねがいします。

No.5 ベストアンサー 回答者： kimosu 回答日時： 2009/11/17 18:57

天才以外の人はグラフを描きましょう。

まず
x ≦ y かつ 0 ≦ x + y ≦ 2 という条件を図示しましょう。
0 ≦ x + y ≦ 2というのは
-x ≦ y かつ　y ≦ -x + 2のことですね。

つまり図の青の斜線のようになります。

2x-y=kとすればこれはy=2x-kとなるのでkが大きくなるように図示すると赤線のようになります。

＊このとき赤線は領域内のどこかに触れてなければいけません。
　今回の場合は角(1,1)になります。

この回答へのお礼

絵まで描いていただいてありがとうございます！
（ただ、斜線を引くのはy=xの左上の方でしょうか？）

お礼日時：2009/11/18 23:33

No.8 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/11/18 10:40

＞(a+3b)/2は(1)'よりa=0,b=2のとき最大値３を取るのは明らかですよね。

全然、明らかではない。
肝心なところを誤魔化している、入試なら大幅な減点対象。。。。。。ｗ

a≦0、 0≦b≦2　の範囲で　2k＝a＋3bの最大値を求める。
2k＝a＋3b　をaの関数とみると、傾きが1の1次関数だからa≦0よりa＝0で最大。
よって、2k＝a＋3b≦3b　だから3bの最大値は　傾きが3のbの1次関数から　0≦b≦2より　b＝2　で最大。

この程度は、2変数問題の常識。

この回答へのお礼

みなさま、ありがとうございます。
グラフによる回答、グラフを使わない回答、ともに完璧です。
大変助かりました！

お礼日時：2009/11/18 23:33

No.7 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/11/18 09:30

2x-y＝kとして、yを条件：x≦y 、 0≦ x + y ≦2　‥‥(1)に代入すると、x≧k、k/3≦x≦（k＋2）/3　‥‥(2)となる。

従って、(2)を満たすxの共通範囲があるためには、（k＋2）/3≧k。これを解くと、k≦1.
k＝1の時、(1)はx≧1　1/3≦x≦1　となり　同時に成立するのは　x＝1.
この時、2x-y＝k＝1から、y＝1.

この回答へのお礼

> 従って、(2)を満たすxの共通範囲があるためには

なるほど、これを考えればいいのですね。
ここに気がつきませんでした！
ありがとうございます。

お礼日時：2009/11/18 23:35

No.6 回答者： kimosu 回答日時： 2009/11/17 19:55

グラフ以外の解答です。

x ≦ y かつ 0 ≦ x + y ≦ 2 という条件は

x - y ≦ 0 かつ　0 ≦ x + y ≦ 2　…　(1)
となりますね。

ここで
x - y = a　…　(2)
x + y = b　…　(3)
とおけば
a ≦ 0 かつ　0 ≦ b ≦ 2　…　(1)'
となりますね。
(2)と(3)の連立方程式を解くと
x=(a+b)/2　…　(4)
y=(a-b)/2　…　(5)
となるのでこれをf ＝ 2 x - yに代入してやると

f = 2・(a+b)/2 - (a-b)/2 = (a+3b)/2
となります。

(a+3b)/2は(1)'よりa=0,b=2のとき最大値３を取るのは明らかですよね。

a=0,b=2を(4)、(5)に代入してやればx=1,y=1が出てきます。

No.4 回答者： kaz-a 回答日時： 2009/11/17 18:41

>>x ≦ y かつ 0 ≦ x + y ≦ 2 という条件の下で

この条件は
y ≧ x
y ≧ - x
y ≦ - x + 2
の三つの条件に分けられますよね。
これで条件を満たすxとyの値の範囲をxy平面上に図示できます。

● f ＝ 2 x - y
については、
y = 2 x - f
と書き替えると同じxy平面に図示できます。
「fが最大」は「-fが最小」と同じことですから、fの値を変えて動かしたときに、最も下の位置で条件の範囲と接する場合のfの値が回答になります。

No.3 回答者： simaku 回答日時： 2009/11/17 18:27

グラフを描いてみましょう

2 x - yをｋとおくと2 x - y＝kとなり変形すると
y=2 x - kとなります。
ここで求めるのはx ≦ y かつ 0 ≦ x + y ≦ 2
と言う領域でのkの最大値なのですべての条件を満たす点を通るy=2 x - kのy切片-kが最も小さくなる時のkの値を出せばよいのです

No.2 回答者： gohtraw 回答日時： 2009/11/17 18:19

0 ≦ x + y ≦ 2 から

ｙ＞＝－ｘ
ｙ＜＝２－ｘ
そして
x ≦ y
なので、この三つの不等式を満たす領域を考えます。そしてこの領域のなかでｙ＝２ｘ＋ａという直線を動かし、ａ（つまりｙ切片）が最小値を取るとき、ｆは最大値を取ります。図を書いて考えてみて下さい。

No.1 回答者： info22 回答日時： 2009/11/17 18:15

>f ＝ 2 x - y

y=2x-f…(●)を条件式に代入して
f≦x かつ f/3≦x≦(2+f)/3
これを満たす実数xが存在する条件から fの範囲が出てきませんか？
その範囲のfの最大値を求め、そのときのxを求め (●)からyを求めれば
いいですね。