環の準同型写像について

R,R'を環とします．
写像Φ:R→R'が任意のRの元x,yに対して

Φ(x+y)=Φ(x)Φ(y)
Φ(xy)=Φ(x)Φ(y)

を満たすとき，Φを環における準同型写像といいますが，具体的にはどのような写像が考えられるのでしょうか?
出来ればΦが全単射になるもの，すなわちRとR'が環として同型となるようなものを教えていただけると助かります．

これが分からないために上手い例を考えられず困っています．

詳しい方よろしくお願いします．

No.1 ベストアンサー 回答者： noname#108210 回答日時： 2009/12/11 18:11

具体例です。

2つの環R,R'を
R={0,1,2,3,4,5}で，mod 6 の加法，乗法とし，
R'={0,1,2}で，mod 3 の加法，乗法とする。

f:R→R'
を
0→0
3→0
1→1
4→1
2→2
5→2
とする。fは準同型写像。

R の類 A={0,3},B={1,4},C={2,5}で，Ｅ={A,B,C}とする。

φ:E→R'
A→0
B→1
C→2

このように定めると，φはEからR'への同型写像となります。

No.3 回答者： OurSQL 回答日時： 2009/12/11 23:49

以前に私が回答した質問（と言っても、解答を書いたわけではありませんが）で、同型写像が登場したものがありました。

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5467589.html

f : Z/mnZ --> Z/mZ × Z/nZ　（m, n は、互いに素な自然数）
f (a + mnZ) = (a + mZ, a + nZ) と定義する。

f が well-defined なのは明らかですが、さらに f は全単射で、環準同型写像にもなっています。
すなわち、環 Z/mnZ と 環 Z/mZ × Z/nZ は同型になります。
（例えば、m = 2, n = 3 とおくことにより、環 Z/(6) と 環 Z/(2) × Z/(3) が同型であることが分かります）。

以下は、単なる補足ですが、

m と n が互いに素という条件は、f が単射になることの証明に使います。
f が単射で、環 Z/mnZ と 環 Z/mZ × Z/nZ が同数（共に mn 個）の元を持つ有限集合であることから、f は全射でもあります。

また、f が環準同型写像であることは、容易に確認できると思います。
その際、Z/mnZ の単位元 1 + mnZ が、f によって Z/mZ × Z/nZ の単位元 (1 + mZ, 1 + nZ) に移されることも、意識しておいたほうがいいでしょう。

No.2 回答者： alice_38 回答日時： 2009/12/11 18:28

同型の例としては、

整数環を
アラビア数字でかいたものと
漢数字で書いたもの
とか、どうでしょう。