∀x∈Ｒに対して、Σ[k=0～∞] (-1)^k/(2k)!・x^2k

∀x∈Ｒに対して、Σ[k=0～∞]　(-1)^k/(2k)!・x^2kが収束することを示せ。という問題が分かりません。

とりあえずxを固定して、nまでの和を求めてからそのnを∞にとばす方針のようなのですが、最初から詰まってしまいました。

No.4 回答者： info22 回答日時： 2010/01/04 11:09

#1です。

>収束の定義式は、
>∀ε＞0, ∃N∈Ｎ, n＞N⇒｜an-α｜＜ε

この定義では収束値αが既知でないと適用できません。この問題ではそのまま適用きないでしょう。

以下の収束の定義、ないし収束の判定法や収束半径（収束するxの範囲）を復習しなおしてください。何を示せばよいか？そしてどんな範囲のxに対して収束するか（収束半径）を考えてみてください。

収束半径
http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture …
ダランベールの収束判定法
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%80%E3%83%A9% …
３つの収束判定法
http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture …
無限級数の収束判定法
http://phaos.hp.infoseek.co.jp/part2/sequence/li …
べき級数関数の収束性
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/050 …

A#1の
>Σ[k=0～∞]　(-1)^k/(2k)!・x^(2k) = -2(sin(x/2))^2
の収束値（収束関数）の
-2(sin(x/2))^2=cos(x)-1
で左辺の収束範囲は |x|<∞です。
（cos(x)-1をマクローリン展開すると左辺の無限級数の式になります。）

最初の上の参考URLの定理11やダランベールの判定法を適用して
|((-1)^(k+1)/(2(k+1))!・x^(2(k+1)))/((-1)^k/(2k)!・x^2k)|
=|(x^2)/{2(k+1)(2k+1)}|→0(k→∞)
となることを∀x∈Ｒに対して示せばいいでしょう。

No.3 回答者： nag0720 回答日時： 2010/01/04 04:07

収束するかどうかを示すだけなら、

m＞x^2/2 となるmを１つ決めて、r=x^2/(2m) とすると、
k≧m なるkに対し、
x^(2k)/(2k)!＜x^(2m)/(2m)!*r^(2k-2m)
0≦r＜1　なので、この式の級数は収束しますね。

(-1)^k　が付いてますがそのくらいは自分でやってみてください。

No.2 回答者： kabaokaba 回答日時： 2010/01/03 18:32

ダランベールの判定法を使えば

すぐ収束半径は求められます．

＞とりあえずxを固定して、nまでの和を求めてからそのnを∞にとばす方針のようなのですが

その「方針」はどうやって決めたのでしょう？
ぶっちゃけた話，その方針では不可能でしょう．
だって，この級数は cos(x) ですから．

No.1 回答者： info22 回答日時： 2010/01/03 18:24

収束の定義式を補足に書いて下さい。

何を示せば収束するかがわからなければ、すべきことが見えてこないですよ。

なお、収束することを示すことと、収束値を求めることは別ですが、
問題の式は
Σ[k=0～∞]　(-1)^k/(2k)!・x^(2k) = -2(sin(x/2))^2
に収束します。

この回答への補足

収束の定義式は、
∀ε＞0, ∃N∈Ｎ, n＞N⇒｜an-α｜＜ε
です。

これを見ても何から始めればよいのかよくわからないので、アドバイスお願いします。

補足日時：2010/01/03 21:28