ベータ関数、ガンマ関数の問題です。

テスト勉強中なのですが、次の問題が分かりません。

∫(0→∞) 1/(1+x^3) dx

これをベータ関数、ガンマ関数で表せればその先は計算できます。
置換すればいいと思うのですが、なぜかどう置換してもうまくいきません。

答えは 2√3π/9 となっています。

何を置換するかだけでもいいので教えてください、お願いします。

No.4 回答者： mi_love 回答日時： 2010/02/03 16:13

素直に

u=1/(1+x^3)

と置いてみてください。ベータ関数になります。

No.3 回答者： alice_38 回答日時： 2010/02/01 21:15

Γ関数？ 何で？

たぶん、楕円積分をワイエルシュトラス型から
ラグランジュ型に変換するときのように
一次分数変換をして、1+x~3 の三根を二つの値へ
移すと、Β積分に持ち込める…のだろうけれど、
面倒で、やってみる気になれない。

普通に、実部分分数分解して、
被害積分関数 = -(1/6)(3x~2)/(x~3+1) +(1/2)/(x~2-x+1) +(1/2)/(x+1)
から積分するほうが、遥かに簡単。

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2010/02/01 20:54

公式集によると

不定積分∫1/(a^3+x^3) dx
=logl(x+a)^3/(x^3+a^3)l/6a^2+arctan((2x-a)/a√3)/(a^2√3)
となっているのでa=1として定積分に計算すればよいでしょう。
上の式は多分
x^3+a^3=(x+a)(x^2-ax+a^2)
により部分分数に分解して計算すると出ると思います。
ベータ関数、ガンマ関数の持ちこめるかどうかはわかりませんがだいぶしんどそうです。

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2010/02/01 20:47

>これをベータ関数、ガンマ関数で表せればその先は計算できます。

そのような関数を出てきません。
初等関数の範囲で積分できます。

普通に被積分関数を部分分数展開して積分すれば
不定積分の原始関数F(x)が
-log(x^2-x+1)/6+arctan((2x-1)/√3)/(√3)+log|x+1|/3
と積分できて、定積分の答えが 2√3π/9　と出てきます。

積分の上限の代入値は
lim[x→∞] F(x)
で計算します。