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例えば、一番簡単な重心から行くと、
△ABCにおいて、AB, BCの中点をそれぞれD, Eとし、CDとAEの交点をG、BGと直線の交点をFとすると、
チェバの定理より、
(AD/DB)*(BE/EC)*(CF/FA)=1
仮定より AD=DB, BE=EC であるから、
CF/FA=1 ∴ CF=FA
よって、FはCAの中点であるので、3つの中線は一点Gで交わることが示される。
すなわち、Gは△ABCの重心である。
とまあ、こんな感じです。
これが例えば内心であれば、Dは∠Cの二等分線とABの交点なので、DはABをCA:BCに内分する点
と置けばいいですし、ほかの外心、垂心、傍心であっても
似たような置き方から、証明していくことは可能だと思います。
しかし、直角三角形の外心と垂心、及び、二等辺三角形の傍心のうち2つの等辺の傍にあるもの
については、この点から三角形の3頂点に直線を引いてもチェバの定理が成り立つ形にならないので、
少なくともこれらの場合については、チェバの定理からの証明は無理ではないかと思います。
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