π＾３と３＾πってどちらが大きいですか？？

π＾３と３＾πってどちらが大きいですか？？
（３＜π＜４、２＜e＜３とすると）
疑問におもったのですが、わかるかたがおられたらよろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/02/14 16:22

きちんと証明しようとすると、結構難しかったりしますね。

似たような問題で e^πと π^eを比較するというのもあったりします。
（こちらの方がもっと簡単に調べることができます。方法は以下に同じです。）

電卓をたたけば、3^π＞ π^3であることはわかります。
これを式で証明することを考えます。


そこで、次のような関数を考えることにします。
f(x)= x- 3* log[3](x) （[3]は対数の底を表しています）

微分すると
f '(x)= 1- 3/log(3)* 1/x （注：この式における対数の底は自然対数 e）

f '(x)= 0なる xを考えると、x= 3/log(3)＜ 3＜π（∵e＜ 3より log(3)＞ 1）
よって、x＞ 3/log(3)では f(x)は単調増加する。

また、f(3)= 3- 3*log[3](3)= 0となるから、f(π)＞ 0

π- 3* log[3](π)＞ 0

移項して
π＞ 3*log[3](π)

1＜3であるから（指数の底が 1よりも大きいから）
3^π＞ 3^{ log[3](π^3) }
よって、3^π＞ π^3


方針としては、3^πとπ^3を直接比較するのは難しいので、
π* log[3](3)=πと 3* log[3](π)の比較に変えているということです。

No.5 回答者： kenjoko 回答日時： 2010/02/14 22:05

No.４です訂正があります

３iogπ、πiog３は
　
正しくは３logπ、πlog３です

補足　上の対数の底はどちらもeです

No.4 回答者： kenjoko 回答日時： 2010/02/14 17:39

π＾３の対数をとって３iogπこれを微分して３/π

３＾πの対数をとってπiog３これを微分してπ/３

３/π　＜　π/３

よってπ＾３　＜　３＾π

　　　　　　　　これじゃだめかな？

No.2 回答者： f272 回答日時： 2010/02/14 16:19

f(x)=log(x)/x

とすると
f'(x)=(1-log(x))/x^2<0 (x>eのとき)
だから
x>eの範囲ではlog(x)/xは単調に減少します。
log(π)/π<log(3)/3
3log(π)<πlog(3)
log(π^3)<log(3^π)
π^3<3^π

No.1 回答者： l4330 回答日時： 2010/02/14 15:48

　

πを3.14としても
3＾3.14=31.489135652455
3.14^3=30.959144