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1と0.999999....... は同じですよね?
1を3で割ると0.333333......
それを3で掛けると0.999999......
ということは、1と0.999999...... は等しいということになりますよね?

A 回答 (14件中1~10件)

0.999999.......の「.......」が以下無限個の9が続くという意味であれば、


1と0.999999.......は寸分違わず全く同一の値です。

1と0.999999.......が違うとされる回答はすべて誤りです。
以下のように否定できます。
1-0.999999......=0.000000.......(以下"無限に"0が続く)
1/3と0.333333......も同様で、全く同一の値です。
誤解されている方は、たいてい「無限に続く」を誤解されているのです。
どこかで最後の9や最後の3を想像しているのです。「無限に続く」ということは"最後"というものはありません。

また、次のようにも説明ができます。
異なる2つの実数a,bにはその間の値となるc(a<c<bとなるc)が存在します。
では0.999999.......(以下無限に9が続く)と1について、
0.999999......<c<1
を満たすようなcを指摘できるでしょうか。

また、次のような誤解もあります。
「0.999999......は1ではないが1にもっとも近い数である」
これが正しいとして、1に限りなく近いある数d=0.999999.......としましょう。
ではその数dと1の平均値の(d+1)/2は
d<(d+1)/2<1
となります。
dは1に最も近い数であったのに、それよりももっと1に近い数(d+1)/2が存在することになり矛盾します。

1=0.999999......を認めないと理系の世界はわやになります。
#1≠0.999999.......とする数理体系を考えることもできるのでしょうが、有用性がありません。
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同じではないのは明らかだと思います。

ただ、表現方法が違うので、分数では簡単に表現できるが、10進法では近似値でしか表現できない値だということだと思います。

円周率もΠ(パイ)という表現なら簡単ですが、10進法だと永遠に正確な表現はできないのと同じようなことだと理解しています。
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X=0.99999999・・・・・・ とおくと仮定して


10X=9.9999999・・・・・
上下の差分を取ると、
9X=9
よって、X=1

だから、1と0.99999999・・・・・・・は等しいと言う人もいますね。

しかし、他の回答者のように、違うという人もいます。

考え方によって、変わってくるんですよね。
数学っておもしろいです。
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純粋に数学的な概念で考えば、1と0.99999999.....は同じです。


しかし物理とか会計の概念で考えたら、同じではありません。
さらにいえば、普通の人はそこまで深く考えていませんので「違う」といわれます。

たとえば1+1=10といったときに一般人は「それは間違い」という人がほとんどでしょう。2進数を知っていれば「間違いじゃないけど、2進数だよね」と確認されるでしょう。

どこに視点を置くかによって、答えが変わるのが人間社会の面白いところだと思います。
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後ろの…が、ちゃんと数学的な意味(つまり無限に続く)なら、1に


等しいです。そうじゃなくて有限桁数なんだけど略しちゃった程度
なら、等しくないです。

詳しくは「数学ガール」の三巻をどうぞ。

参考URL:http://www.hyuki.com/girl/
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「循環小数」をキーワードに検索すると、いろんな話がでてきます。



この「...」が無限に同じ数字が続くものならば、0.99999....=1になります。
ただ省略しただけでどんな数字がくるかわからなかったら(例えば、2010桁目が2だとか)0.99999..... < 1です
これが数学の不思議なところ。
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違う違う。

それが同じだと理系の世界はぜーんぶワヤになります。オリンピックのスピードスケートで一位と二位の差が0.03秒といわれて、それならほとんど同じだろだから俺にも金メダルくれと二位の選手がいっても通らないでしょ?

1を3で割ると0.3333....になるけど、それを3つ足しても0.99999.....になるだけ。でも、1/3を3つ足すと1になる。だから1/3≠0.33333....となります。数学の世界は奥が深いねえ。
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0.999・・・・・は無限に続くってことかな。


それだとすれば等しいです。むしろ0.999・・・・を1と定義してかまいません。
実際、0.999・・・・=0.9+0.09+0.009+・・・・
         =0.9×1/(1-0.1)  (←等比無限級数の公式から)
         =1
だから1としても全然かまわないんですよ。
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同じではありません 


 1=1
 1≒0.999999.......
1を3で割ると0.333333...... 割りきれませんので約(≒)ということになります。
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1と0.999999....... は、同じといえば同じだし、


違うといえば違う。

1.0000000000000000000000000000

0.9999999999999999999999999999
とは、明らかに異なります。

で、1は、
1.00000000000000000000000000001
かも知れない1だからね。

小数点を何桁まで有効と考えるかですよ。
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