質問

中学生1年です。
とあるきっかけで、モンティ・ホール問題を見ました。

3つのドア(A,B,C)に一つは車(?)、もう二つにはヤギが入ってます。

解答者「じゃあ、Aを選びます。」

司会者「分かりました。それとBはヤギ(ハズレ)です。
今なら、Cとかえても良いですよ?」

正解は変えた方が確率は高い、と見ました。

全く分かりません・・・
2つあって、普通に1/2ではないんですか?

中学1年なので確立の問題(?)は、習っていません。
でも分数は分かります!(笑)

出来れば「分かりやすく」、教えて頂けませんか・・・?
よろしくお願いします。

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回答 (8件)

> 2つあって、普通に1/2ではないんですか?

4ヶ月ほど前ですが、私も質問者さんと全く同じ疑問を持ちました。
でもこのサイトで質問して回答をもらい、あれこれ考えてみるうちにハッと理解できました。

↓そのときのQ&Aが参考になるかも知れないので、見てみてください。
http://virus.okwave.jp/qa5387533.html

問題のキモは「司会者は正解を知っている」ということです。

この回答へのお礼

ここで全体のお礼を言います。

よーく分かりました!

100個のドアだったら、分かりやすいですね!
1/100を最初っから当てるのは凄いですからね・・・

ありがとうございました!

参考までに

3つのドアの部分を100個のドアの場合に拡張して考えて、
そのドアのうちひとつだけに車が入っている場合を考えたらどうでしょう?
解答者の選んだところ以外の99個のヤギの入っているドアのうち
98個のドアを司会者は空けていき、残ったドアは
はじめに解答者が選んだドアと、司会者が残したドアの二つがあります。

あなたが解答者であったら司会者が残したドアの方に変えたくなりませんか?

確率をやる人の大好きな問題ですね。

まっさらな状態でAに車が入ってる確率は1/3というのは確率を特別勉強してなくてもわかりますよね。
たとえば何を言われても変えない!と決めている人が、Aを選んでから出題者にBはヤギですよと言われて変えなかったら当たる確率は1/3から変わるでしょうか?

そうです。その人が1/3でそれを選んだ時点で、何を言われたって1/3です。ということは、「何を言われても変えない!」と全く逆の人(=B、Cのうちヤギの入ってる方を見せられたら変えると決めてる人)が2/3で当たることを意味してます。

狐につままれたようなロジックに聞こえますよね?でも合ってるんです。これが。

質問文の中に「誤解を招く」表現がありましたので、訂正をお願いします。
> 司会者「分かりました。それとBはヤギ(ハズレ)です。今なら、Cとかえても良いですよ?」
「それ(A)がはずれ」だとは言っていません。Aについては言及していません。
「それと」が「ついでながら」という接続詞なら話は別ですが。
Bがハズレだと「言った」のではなく、黙ってBのドアを開けて、ヤギであることを見せたのです。

#3です。
「確率」という概念を使わないで、もっとレベルの低い「場合分け」の方法でも解けます。
まず、Aは「最初に決めたドアを変えない主義」の人、Bは「最初に決めたドアを変える主義」の人とします。それぞれ900人います。

平等な場合分けをすると、
(1)当たりが第1ドアにあり、最初に第1ドアが選ばれる。
(2)当たりが第1ドアにあり、最初に第2ドアが選ばれる。
(3)当たりが第1ドアにあり、最初に第3ドアが選ばれる。
(4)当たりが第2ドアにあり、最初に第1ドアが選ばれる。
(5)当たりが第2ドアにあり、最初に第2ドアが選ばれる。
(6)当たりが第2ドアにあり、最初に第3ドアが選ばれる。
(7)当たりが第3ドアにあり、最初に第1ドアが選ばれる。
(8)当たりが第3ドアにあり、最初に第2ドアが選ばれる。
(9)当たりが第3ドアにあり、最初に第3ドアが選ばれる。
この9つの場合は平等に起こります。それぞれの場合について、A100人とB100人がチャレンジします。

場合(1)で当たりを得るのは、Aの100人です。
場合(2)で当たりを得るのは、Bの100人です。
場合(3)で当たりを得るのは、Bの100人です。
場合(4)で当たりを得るのは、Bの100人です。
場合(5)で当たりを得るのは、Aの100人です。
場合(6)で当たりを得るのは、Bの100人です。
場合(7)で当たりを得るのは、Bの100人です。
場合(8)で当たりを得るのは、Bの100人です。
場合(9)で当たりを得るのは、Aの100人です。

Aは900人のうち300人、Bは900人のうち600人が当たりを得ます。

ここで初めて「確率」という用語を使えば、
A主義者は当選確率 1/3
B主義者は当選確率 2/3
です。

もちろん、最初から確率で行くほうが「論理的には引き締まっている」方法です。それには「ベイズの定理」という便利な道具があります(高校でも習いませんが)。

十数年前、この問題が専門誌に載って話題になったとき、多くの数学者(それも大学教授レベル)が「討ち死に」しました(みごとに間違えました)。間違えた人の中で、出題者の悪口を書いた人は、氏名を公表されて恥をかきました。ハンガリーのエルディシュという大数学者も、なかなか正解を認めようとしませんでした。ですから、中学生が間違えるのもムリはありません。「変えたほうが有利」であることは、すでに確定しています。私はモンテカルロ法を使って証明しました(コンピューターの中でこのゲームを100万回やらせました)。100万回のうち、約67万回は「変えてトク」をしました。解析的に調べるなら、その前に「事前確率」という概念をよく勉強する必要があります。

モンティ・ホール問題は
このサイトが分りやすいですよ。

「それ(A)とBはヤギです。」と言っているのだから、
司会者の言うことを信じるのなら、
車が入っているCに変えたほうがよいでしょう。
司会者を信じないならば、何も聞かなかったのと同じですから、
最終的にどれを選んでも、当たる確率は1/3のままです。
(モンティ・ホール問題とは、話が違うようですが。)

この回答への補足

それ→it
的な意味で解釈はしないで下さい・・・

あ・こ・そ・ど言葉の そ ではないです。

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