恒等式の定義

Ａ＝ＢＱ＋Ｒが恒等式となるのが理解できません。
恒等式（こうとうしき、identity）とは、等式すなわち等号 (=) を含む数式であって、そこに現れるあらゆる変数がどのような値にあっても、常に等号で結ばれた左右二つの数式の "値" が等しいもののことを言う。

教えてほしい点
格子定規的考えですが、
そしたら、今回は変数は４つになってしまうし、何を代入しても成り立つわけではない。こいつはどんな点で恒等式といえるのでしょうか？？

No.3 ベストアンサー 回答者： B-juggler 回答日時： 2010/03/04 16:19

こんにちは　二回目です。

Ｎｏ．２です。

もう一つ質問が上がっているのを拝見しまして、
書き足しておこうかと思います。

もう一つのほうは、ｉｎｆｏ２２さんが完璧に回答してあるので
私はパスしますよ＾＾；
一個だけ、「逆の確認」ですが、ａｂｃを導き出すので
３つ代入する必要がありますよね。
４つ目入れることで、恒等式の確認とする（検算ですよ＾＾）、
ってことで、「逆の確認」も同時に済んでいる、と判断して
構いません。

恒等式は　常に　等しいわけですね。
　＃通常は、＝　ではなく　≡　（３本線のイコール）を
　＃使うことが多いと思いますが・・・・。
左辺≡右辺　なので　右辺≡左辺　も成り立っていますね♪

それを踏まえて、多分レベルの高い解説で構わないとして、
改めてこの式を見てみましょう。

Ａ＝ＢＱ＋Ｒ

さぁ、これが全部変数なのか？　ここに尽きます。

この場合、おそらく変数はＡ，Ｂ　か　Ｑ，Ｒ　のどちらかでしょう。

理由は前述のとおり、これは割り算を掛け算に直した式。
　＃割り算の時にはＢ＝０はできませんが、この場合は掛け算ですので
　＃問題なくいけます。

Ａ，Ｂを変数だとすると、
Ｑ，Ｒは　それぞれ　Ｑ（Ａ，Ｂ）　Ｒ（Ａ，Ｂ）　つまり
Ａ，Ｂの関数になっているはずです。
　＃Ｑ，Ｒを変数としても、Ａ，Ｂが関数になりますね。

こういう風に考えると、
Ａ≡ＱＢ＋Ｒ　とできるのが、わかっていただけるかと思います。

整数論かな？　数論か？　今は、複素数は除外して考えています。
　＃おそらく大丈夫なはずです。
　＃厳密には、まだ考えられていないけど・・。

代数学を専門にしている私からすれば、Ａ，Ｂを変数と
したいのですが・。これは好みです（＾＾；）

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2010/03/05 23:40

＞ そこに現れるあらゆる変数がどのような値にあっても、

＞ 常に等号で結ばれた左右二つの数式の "値" が等しいもののこと

…という定義は、どんなもんかなぁ。

「ある変数についての恒等式」とは、等式すなわち等号 (=) を含む数式であって、
そこに現れる "ある変数" がどのような値にあっても、
常に等号で結ばれた左右二つの数式の "値" が等しいもののことを言う。
ただし、文脈上 "ある変数" が明白な場合には、
どの変数についての恒等式かを省略して、単に「恒等式」と呼ぶこともある。

…くらいにしておいたほうが、後々無用の混乱を生まないかと。

この奇妙な質問が発生するのは、Ａ＝ＢＱ＋Ｒが恒等式かどうかと問う際に、
どんな変数についての恒等式を考えているのかを明確にしていないから。

Ａ,Ｂ,Ｑ,Ｒを「そこに現れるあらゆる変数」とすれば、恒等式の訳がない。
なぜなら、Ａ=1,Ｂ=2,Ｑ=3,Ｒ=4 とき不成立だから。

Ａ＝ＢＱ＋Ｒが恒等式であるとすれば、式には明示されていないが、
何らかの変数が存在し、Ａ,Ｂ,Ｑ,Ｒはその共通の変数の関数であって、
Ａ＝ＢＱ＋Ｒはその "何らかの変数" についての項等式になっている
と解釈せざるをえない。

…ということを、同質問の前回投稿時に A No.2 に書いた。

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5713680.html

No.4 回答者： hugen 回答日時： 2010/03/04 19:36

A(x)÷B(x)＝Q(x) 余り　R(x)　　という点で.

No.2 回答者： B-juggler 回答日時： 2010/03/03 22:05

こんばんは

これはどの分野だろう？

複素数が絡むと大変ですが、多分。

等号の意味がお分かりなら、
＞今回は変数は４つになってしまうし、何を代入しても成り立つわけではない。

これができないのがお分かりいただけると思うのですが。

（左辺）＝（右辺）　と言う大前提がありますから、
Ａの値を決定したときに「（左辺）を決定した」、
（右辺）のＢＱ＋Ｒ　は　右辺に等しくなるように代入されるはずです
よね？

全てが変数とはなりえない　とはいえませんでしょうか？

ここから先は、あまり関係のないかもしれません。
割り算の式ですよね。　ＡＢＱＲ全て整数として。
ＡをＢで割ったときの　商をＱ、余りをＲとしている式だと
思われます。
とすれば、変数は、ＡとＢだけですね。
　＃ＱとＲは自動的に決定されますね。

No.1 回答者： yukaru 回答日時： 2010/03/03 21:50

＞変数は４つになってしまうし、何を代入しても成り立つわけではない。

Ａ、Ｂ、Ｑ、Ｒが制限の無いどんな値でも取れるのなら恒等式にはなりませんが
たとえ「ｘ＝１」など変数がひとつでもｘの値に制限が無ければ恒等式にはならないです