大型、中型、小型のファイリングケースがあり、大型は１５０円、中型は１０

大型、中型、小型のファイリングケースがあり、大型は１５０円、中型は１００円、小型は８０である。３種類を買ったところ１７２０円になった。大型と小型のファイリングケースを、同数買ったとすれば、それぞれのファイリングケースの数は、いくつになるか選びなさい。
この問題の解法で大型と小型の平均を出し、１６個なら１８４０で、実際との差は１２０。中型は１００円なので大小の平均との差は１５円。大型と小型の合計は１２０÷１５＝８
の意味がわかりません。教えて下さい。

No.1 ベストアンサー 回答者： gohtraw 回答日時： 2010/04/05 22:17

大と小は同数なので大小一個ずつをセットとし、１７２０円付近で何組買えるかを考えると８組で１８４０円になります。

実際にかかったのは１７２０円ですからその差は１２０円です。この１２０円は、実際には大小のセットは８組よりも少なく、その代わりに中型を買っていることによるものです。
　大小のセットを一つ減らすと金額は２３０円減ります。その分中型を２個買うと合計金額は２３０－２００＝３０で３０円減ります。従って１２０／３０＝４で大小のセットは８－４＝４組、中は２＊４＝８個買ったことになります。
　私だったら上記のように解きますが、お書きになった解法では
大小のセットを０．５個減らすと金額は１１５円減ります。その分中型を１個買うと合計金額は１１５－１００＝１５で１５円減ります。従って１２０／１５＝８で大小のセットは８－８／２＝４組、中は８個買ったことになります。
　というふうに考えています。私の解き方と比べると個数（組数）を２で割っています。わざわざ２で割る必要もないと思うのですが・・・。

No.3 回答者： osu_neko09 回答日時： 2010/04/06 12:57

大型と小型の合計は１２０÷１５＝８で８個、としているのなら、それは解説が間違っているのです。

こういう解法でしょう。
＞大型と小型の平均を出し
（１５０＋８０）÷２＝１１５円
中型が一個増えると１５円減るのだから
＞大型と小型の合計は１２０÷１５＝８
で８個減る（もちろん中型は８個）
よって大型と小型の合計は１６－８＝８個

Ａ．大型４個、中型８個、小型４個

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2010/04/05 23:38

150 x + 100 y + 80 z = 1720,　x = z

の自然数解を求めよ　という問題ですね。

z を消去して、23 x + 10 y = 172。
まずは、これの整数解を求めてみましょう。

23 a + 10 b = 1 となる a,b の一例として
23・7 + 10・(-16) = 1 を何となく発見すると、
(上の式) - (下の式)×172 を辺々計算して、
23(x - 7・172) + 10(y + 16・172) = 0 です。

23 と 10 は互いに素ですから、
x - 7・172 = -10 n,
y + 16・172 = 23 n
となる整数 n があることが解ります。

次に、x,y の両方が正になるような n を探すと、
x = 7・172 - 10 n > 0,
y = -16・172 + 23 n > 0
を変形整理して、119 + 15/23 < n < 120 + 4/10
より、n = 120。

これを代入して、x = z = 7・172 - 10・120 = 4,
y = -16・172 + 23・120 = 8 と求まります。