質問

部分分数分解

添付画像の方法で部分分数分解をしようと考えています。

∫(3x-1)/((x+1)(x^2+1))dxにおいて、
(3x-1)/((x+1)(x^2+1))=(a/(x+1))+(b/(x^2+1))として
係数を求めたいのですが・・・どのようにすれば解けるでしょうか?

a=(3x-1)/(x^2+1)|(x=-1)=-2
bを求める事ができません・・・


どのようにすれば良いのでしょうか?

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回答 (2件)

部分分数に分解するときは, 分解して得られる分数を「分子の次数が分母より 1 だけ低い」形でおくのが原則.
あるいは今の例に限定すれば (x+1)(x^2+1) = (x+1)(x-i)(x+i) とさらに因数分解できるので
(3x-1)/[(x+1)(x^2+1)] = a/(x+1) + b/(x-i) + c/(x+i)
とおいてもいい.

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
ご指摘の因数分解は私も考えたのですが、答えとまったく違ったので・・・
答えが間違っているのでしょうか?

よく理解できないので、この質問は締め切らせて頂いて新たに質問
させて頂きます。

そもそも
(3x-1)/((x+1)(x^2+1))=(a/(x+1))+(b/(x^2+1))
とした場合右辺を通分するとx^2の項の行き場がなくなってしまいます。
部分分数分解の場合それぞれの項において分母と分子の次数の差を揃えてやると
うまくいったような記憶があります。
つまり、
(3x-1)/((x+1)(x^2+1))=(a/(x+1))+((bx+c)/(x^2+1))
ということです。
まじめに通分して両辺の分子で係数比較をすればa,b,cは求まると思います。

以上、参考になれば幸いです。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
係数比較を行って求めるしかないのですかね・・・
((bx+c)/(x^2+1))の積分はどうすればよいでしょうか?

よく理解できないので、この質問は締め切らせて頂いて新たに質問
させて頂きます。

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