意外と難しい組み合わせ問題

化学で、「同位体を考えた時に、分子が何パターンあるか」を考えていたら、思いついた問題です。
一見簡単そうに思えたんですが、考えたら意外と分りませんでした。
数学の得意な人、教えてください。
よろしくお願いします。

以下の"立体"の頂点に、ｎ種類の色から塗るパターンは何通り？
同じ色を複数の頂点に塗ってよい。
(1) 棒（頂点２つ）
(2) 正３角形（平面図形の場合は裏返しあり、ということ）
(3) 正ｍ角形
(4) 正４面体
(5) 立方体
(6) 正20面体

No.4 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2010/04/09 16:20

(1)はｎ種類の中から２つ重複して選ぶ組み合わせだから、

nH2=(n+1)C2=n(n+1)/2

(2)は裏返しありということだから、塗る色が決まれば塗り方は１通りなので、ｎ種類の中から３つ重複して選ぶ組み合わせで、
nH3=(n+2)C3=n(n+1)(n+2)/6

(4)は、塗る色が１～３色の場合は塗り方は１通り、４色の場合は２通りの塗り方があるので（鏡像は別として）
nH4+nC4=n(n+1)(n+2)(n+3)/24+n(n-1)(n-2)(n-3)/24=n^2(n^2+11)/12


(3)の正ｍ角形は、帰納法を使えば何とか計算できそうな。
どこかでそんな公式を見たような気がします。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

よく理解できました。
そういえば、重複組み合わせのＨ、完全に忘れてました。

お礼日時：2010/04/10 16:02

No.3 回答者： aiueo95240 回答日時： 2010/04/09 15:53

http://homepage2.nifty.com/PAF00305/math/polya/n …

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

難しそうなページですが、まさに求めていたことが書いてありそうです。
がんばって読んでみます。

お礼日時：2010/04/10 16:03

No.2 回答者： noname#112109 回答日時： 2010/04/09 13:11

(1)だけ解答します。

これは線分です。
n＝1のとき，もちろん1通り
n＝2のとき，AA，AB，BBの3通り
n＝3のとき，AA,AB,AC,BB,BC,CCの6通り
n＝4のとき，AA,AB,AC,AD,BB,BC,BD,CC,CD,DDの10通り
以上からn(n＋1)/2通り（証明略）

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

(1)は自力でも解けたんですが、確認のため入れさせていただきました。
(2)以降もわかる方いらっしゃいましたら、どんどんお願いします。

(1)(2)(3)の平面図形の場合は、「数珠順列」と呼ばれる問題に似ているのですが、上に書いたように少し設定を変えると、途端に分らなくなって、あれっと思い質問しました。
さらに立体も、と考えると。。。

何かシステマチックな解法はないでしょうか？

お礼日時：2010/04/09 15:38

No.1 回答者： Kules 回答日時： 2010/04/09 13:09

この類の問題を考えるためにはもう一つ条件の設定が必要な気がします。

すなわち
「辺を共有する２つの頂点に同じ色を塗ってもいいのか？」
用は(2)正三角形で1色、または2色で塗るのはありなのか？ということです。
この条件設定を要求させていただきます。

この条件が決まったとしても(6)正20面体とか考えたくないですね…
(5)立方体までなら何とかなりそうな気がしますが。

以上、参考になれば幸いです。

この回答への補足

ご指摘ありがとうございます。

＞「辺を共有する２つの頂点に同じ色を塗ってもいいのか？」
ＯＫです。

(2)正三角形で1色、または2色で塗るのもありです。

補足日時：2010/04/09 15:29