No.3ベストアンサー
- 回答日時:
失礼、ミスプリがあった。
x[n+2] = x[n] - q[n]・x[n+1]・q[n] じゃなく、
x[n+2] = x[n] - q[n]・x[n+1] で、逆向きに漸化
(a,b) = x[m-1]
= x[m-3] - q[m-3]・x[m-2]
= x[m-3] - q[m-3]・{ x[m-4] - q[m-4]・x[m-3] }
= - q[m-3]・x[m-4] + { 1 + q[m-3]・q[m-4] }・x[m-3]
= - q[m-3]・x[m-4] + { 1 + q[m-3]・q[m-4] }・{ x[m-5] - q[m-5]・x[m-4] }
= { 1 + q[m-3]・q[m-4] }・x[m-5] - { q[m-3] + q[m-5] + q[m-3]・q[m-4]・q[m-5] }・x[m-4]
= { なんたら }・x[m-6] + { かんたら }・x[m-5]
= { ぺんたら }・x[m-7] + { ぽんたら }・x[m-6]
= …
= { いつかは }・x[0] + { こうなる }・x[1]
= { q[n] の整数係数多項式 }・a + { q[n] の整数係数多項式 }・b
q[n] はみな整数だから、その整数係数多項式の値も整数。
No.2
- 回答日時:
ユークリッドの互除法を行う。
x[0] = a,
x[1] = b,
x[n+2] = (x[n] を x[n+1] で割った余り)
で漸化すると、
x[m] = 0 となる m が存在し、x[m-1] = (a,b) である。
x[n] を x[n+1] で割ったときの、余りつきの商を q[n] と置くと、
x[n] = x[n+1]・q[n] + x[n+2] なので、
x[m-1] = (a,b) を初期値として、
x[n+2] = x[n] - q[n]・x[n+1]・q[n] で、逆向きに漸化してゆけば、
x[m-1] が x[0] と x[1] の整数係数一次式で表されることが解る。
この回答への補足
ありがとうございます、大変失礼とは思いますが当方、相当頭が悪くてまだ理解できません。
もう少し詳しく教えていただけないでしょうか(汗
No.1
- 回答日時:
>例えば(6,4)=2 このときar+bs=(a,b)のような整数rとsが存在するというのを証明する。
a=6 b=4 とすると
6r+4s=2 をみたす整数 r/sを示せば証明が成立しますね
r=1
s=-1
で証明終了では?
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