sinx-cosx=√２sinx(x-π/4) と解説にあったのですが

sinx-cosx=√２sinx(x-π/4) と解説にあったのですが、どうして、こうなるのかわかりません。よろしくお願いします。sinx-cosxが、2sin(x-π/4)になるまでの展開式を教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： OKXavier 回答日時： 2010/04/27 16:15

三角関数の「合成」を用いる方法と、三角関数の「和→積」の公式を

用いる方法とがあります。

合成では、
sinx-cosx
=√2{(1/√2)sinx-(1/√2)cosx}
=√2{sinxcos(π/4)-sin(π/4)cosx}
=√2{sin(x-(π/4))}


「和→積」では、
sinx-cosx
=sinx-sin((π/2)-x)
=2cos{(x+(π/2)-x)/2}sin{(x-(π/2-x))/2}
=2cos(π/4)sin(x-π/4)
=(√2)sin(x-(π/4))

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2010/04/27 17:10

No.1 回答者： 55kakefu 回答日時： 2010/04/27 11:46

加法定理　SIN(α+β）＝SIN(α)COS(β)+COS(α)SIN(β)　より、

√２sinx(x-π/4)= √２{SIN(X)COS(-π/4)+COS(X)SIN(-π/4)}
ここで、COS(-π/4)とSIN(-π/4)の値を単位円で求めれば、証明終了。

加法定理は、記憶しておくと便利な定理ですが、回転行列や、複素数の極座標表示を勉強すれば、
覚えてなくてもすぐに導けます。

この回答へのお礼

ありがとうございました。また、よろしくお願いします。

お礼日時：2010/04/27 17:11