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スゴロクでゴール到達において何回でゴール出来るか?確率の質問です。

条件
サイコロ(マス目1-6)
ゴールは20マス目(スタート0マス・途中、振り出し戻り無し・20マス到達時点でゴール

4-20回の範囲の個々の到達確率計算方法を教えて下さい。

A 回答 (2件)

k回サイコロを振って、ぴったりnマス目で止まる確率を、Q(k,n)とします。



たとえば、1回サイコロを振れば、1~6マス目に止まるので、
Q(1,1)=Q(1,2)=Q(1,3)=Q(1,4)=Q(1,5)=Q(1,6)=1/6
2回サイコロを振って、2~12マス目に止まる確率は、
Q(2,2)=1/36、Q(2,3)=2/36、Q(2,4)=3/36、・・・、Q(2,12)=1/36

この確率Qは、次のような漸化式が成立します。
Q(k,n)={Q(k-1,n-1)+Q(k-1,n-2)+Q(k-1,n-3)+Q(k-1,n-4)+Q(k-1,n-5)+Q(k-1,n-6)}/6

エクセルでも使えば、Q(k,n)は求めることができますね。

k回サイコロを振ったとき、20マス目に到達する(行き過ぎてもいい)確率P(k)は、
P(k)=Q(k-1,14)*1/6+Q(k-1,15)*2/6+Q(k-1,16)*3/6+Q(k-1,17)*4/6+Q(k-1,18)*5/6+Q(k-1,19)*6/6
で求められます。
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全部書き出したら?



ってだけでは、あんまりなので 考え方を少し

n回目にゴールするとして

・n-1回目までの和
・n回目に20以上となる目の出方

で場合わけしましょう。


20回目ゴールの場合
・19回目までは1×19(18以下にはならない)
・20回目に1~6全てOK


19回目にゴールの場合
A)
・18回目までに19となる組み合わせ(1と2)
・19回目に1~6全てOK
B)
・18回目までに18となる組み合わせ(全て1)
・19回目に2~6全てOK

などなど
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