sin((n/3+1/n)π)の上極限と下極限ってどうやって求めるので

sin((n/3+1/n)π)の上極限と下極限ってどうやって求めるのですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2010/05/05 21:23

a[n] = sin((n/3+1/n)π) の 6 項おきの部分列は、n → ∞ に際して、

n を 6 で割った余りが 0 のとき、a[n] = sin(0 + π/n) → sin(0) = 0、
n を 6 で割った余りが 1 のとき、a[n] = sin((1/3)π + π/n) → sin((1/3)π) = (√3)/2、
n を 6 で割った余りが 2 のとき、a[n] = sin((2/3)π + π/n) → sin((2/3)π) = (√3)/2、
n を 6 で割った余りが 3 のとき、a[n] = sin(π + π/n) → sin(π) = 0、
n を 6 で割った余りが 4 のとき、a[n] = sin((4/3)π + π/n) → sin((4/3)π) = -(√3)/2、
n を 6 で割った余りが 5 のとき、a[n] = sin((5/3)π + π/n) → sin((5/3)π) = -(√3)/2
と、部分列ごとに収束する。

よって、a[k] の k≧n における上限、下限は、n の値によらず、
sup{k≧n} a[k] = (√3)/2、
inf{k≧n} a[k] = -(√3)/2
である。

したがって、
上極限 limsup{n→∞} a[n] = lim{n→∞} sup{k≧n} a[n] = (√3)/2、
下極限 liminf{n→∞} a[n] = lim{n→∞} inf{k≧n} a[n] = -(√3)/2。

No.3 回答者： nag0720 回答日時： 2010/05/05 21:27

nは1,2,3,・・・・でしょうか？

n=15くらいまで計算すれば分かるのでは。

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/05/05 21:22

こんばんわ。

n→∞とすると、1/n→ 0となるので
sin((n/3+ 1/n)π)≒ sin(nπ/3)

となりますね。（いい記号が思いつかなかったので、≒を使っています。）

当然、この数列を収束しません。
sinの形ですので、「振れ幅」の上界と下界が、それぞれ上極限と下極限になりますね。