内積と外積について

内積と外積について

2つのベクトルをA,Bと表し、2つのベクトルのなす角をθとします。
また、A=（ax,ay,az）,B=（bx,by,bz）です。

内積はA・B=｜A｜｜B｜cosθと表されこれはスカラー量です。
内積はAのBへの正射影とBの積（もしくは、BのAへの正射影とAの積）と認識しています。
また、A・B＝axbx+ayby+azbzとも表されこれはスカラー量です。
A・B=｜A｜｜B｜cosθ,A・B＝axbx+ayby+azbzはどちらも内積の定義なのでしょうか？


外積は｜A×B｜＝｜A｜｜B｜sinθと表されますが、これもスカラー量ですよね。

外積はベクトル積と呼ばれることもあるようですが、
これは、外積の定義A×B＝（aybz-azby,azbx-axbz,axby-ayax）がベクトルとなるからベクトル積と
言われるのでしょうか？

｜A×B｜＝｜A｜｜B｜sinθは定義ではないのですか？

以上、よろしくお願い致します。

No.3 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2010/05/10 20:55

内積の定義は、

固有値がどれも正の値であるような
対称行列 G を係数として、
a・b = (aの転置) G b
です。(右辺は行列積です)
G の各成分の値は、a,b が属するベクトル空間の
基底のとりかたしだいで変わりますが、
上手い基底を選ぶと、G が単位行列になる
ようにできます。その基底のもとで、
内積の成分表示は、三次元の場合、
a・b = ax・bx＋ay・by＋az・bz
と書けます。こっちの式のほうが、
本来の定義に近いですね。

cosθ が入ったほうの式は、
内積ではなくて、「なす角」の定義ですよ。
コーシー・シュワルツの不等式によって、
内積÷ベクトルの大きさの積は
-1 ～ 1 の値であることがわかるので、
それが =cosθ となるような実数 θ を
決めることができるのです。
そのような θ を、二つのベクトルの「なす角」
と呼びます。

外積の定義は、ベクトル値のほうが正解。
スカラーのほうは、外積ベクトルの大きさに
適当な符号をつけたもので、
外積そのものとは、違います。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
理解できました。ありがとうございました。

お礼日時：2010/05/13 16:53

No.4 回答者： banakona 回答日時： 2010/05/10 21:49

>外積は｜A×B｜＝｜A｜｜B｜sinθと表されますが、これもスカラー量ですよね。

前半は間違い。外積はA×Bであって、｜A×B｜は外積A×Bの大きさ。だからスカラーになるのは当たり前。外積はベクトルです。

No.2 回答者： ziziwa1130 回答日時： 2010/05/10 19:53

内積自体はスカラーで、外積自体はベクトルですよ。

｜A×B｜は外積A×Bの大きさですよ。だから、｜A×B｜＝｜A｜｜B｜sinθは外積A×Bの大きさの定義であって、外積自体の定義ではありません。

No.1 回答者： noname#113983 回答日時： 2010/05/10 19:22

イヤ、ダイガクデハ

ナイセキヲA・B＝axbx+ayby+azbzトテイギシテ、コウコウデハcosヲツカッテ
テイギスルカラドッチヲテイギシテモカマワナイ。
ガイセキモオナジコト。