No.3ベストアンサー
- 回答日時:
こんばんわ。
たとえば、「372」は、3×100+ 7×10+ 2となりますね。
100= 99+1、10= 9+1と置き換えれば、
372
= 3×(99+1)+ 7×(9+1)+ 2
= (3×99+ 7×9)+ (3+ 7+ 2)
と変形できます。
前のかっこは 3で割り切れます。
ということは、後ろのかっこが 3で割り切れれば、全体も 3で割り切れることになります。
気付いているかもしれませんが、同じ考え方で 9で割り切れる条件も
「各ケタの数を足した数が 9で割り切れること」だということもわかると思います。
No.5
- 回答日時:
6桁の数abcdefで考えます。
a=0でb≠0あれば5桁の数になります。
a=b=0でc≠0あれば4桁の数です。
2で割れる・・・ fが2で割れたらいい(偶数であればいい)
3 ・・・ a+b+c+d+e+fが3で割れたらいい
4 ・・・ 下2桁 efが4で割れたらいい
5 ・・・ fが0か5であればいい
6 ・・・ 3で割れて2で割れたらいい(偶数で3の倍数であればいい)
7 ・・・ (a-2b-3c)-(d-2e-3f)が7で割れたらいい
8 ・・・ 下3桁 defが8で割れたらいい
4d+2e+fが8で割れたらいい
9 ・・・ a+b+c+d+e+f が9で割れたらいい
No.4
- 回答日時:
100の位の数をa、100の位の数をb、1の位の数をcとおく。
100a+10b+c=99a+9b+(a+b+c)
となるので、a+b+cが3で割り切れれば
(3で割り切れる数)+(3で割り切れる数)+(3で割り切れる数)=(3で割り切れる数)
となります。
あと、上の証明とは別のアプローチをしてみます。
まず最初に、6があるとします。6は3で割れますね。これに3を足したら、当然3で割れる9ができます。そして、各桁の合計を見ると
6・・・1の位:6→合計6
9・・・1の位:9→合計9
各桁の合計も3増えています。繰り上がりが無いので当然ですね。
続いて、9に3を足します。当然3で割れる12ができます。では各桁の合計を見てみます。
9・・・10の位:0、1の位:9→合計9
12・・・10の位:1、1の位:2→合計3
合計が6減っています。3の倍数である6だけ減ったので、合計も3で割れるままです。
「3を足す」というのは、「10足して7引く」と同じです。
この「10足して7引く」を各桁の合計で見ると、「1足して7引く」つまり「6引く」ですね。
ですから、繰り上がりがあってもなくても、3ずつ足していけば各桁の合計は3の倍数のままです。
(99に3足して102になると・・・100の位:+1、10の位:-9、1の位-7→合計は-15)
ちょっと分かりにくいかもしれないですね。ゴメンナサイ。
No.2
- 回答日時:
中学生でしょうか。
3桁の場合で考えてみます。
百の位がx、十の位がy、一の位がzという3桁の整数の各位の和が3の倍数だとします。
x+y+z=3n (n:整数) ・・・・(1)
3桁の整数Nは次のように表されます。
N=100x+10y+z=(99x+9y)+x+y+z =3(33z+3y)+(x+y+z) ← ここの計算で#1さんの考え方が効いてきます。
ここで式(1)を代入しますと、3桁の整数は次のように表されます。
N=100x+10y+z=3(33z+3y)+3n =3(33z+3y+n)
33z+3y+nは整数ですので、3桁の整数Nは3の倍数であることが示されます。
ここでは、3桁の整数の場合について考えてみましたが、何桁であっても同じ考え方で示すことができます。
もし高校生でしたら、数学的帰納法などを使って考えても良いかと思います。
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