数学の因数定理について
整式P(x)がx=aで0になる条件はP(x)がx-aを因数に持つこと(因数定理)を証明せよ。
と言う問題があります。
解答と異なっているので確認お願い致します。
P(x)がx-aで割り切れるとする。P(x)をx-aで割った商をQ(x)とすると、
P(x)=(x-a)Q(x)
が成立する。
よってx=aをこの式へ代入すると
P(x)=(a-a)Q(a)
P(x)=0
最初のP(x)がx-aで割り切れるとする…
というところで証明すべきP(x)が(x-a)を因数に持つということを使ってしまっているような気がするのですがやっぱり間違ってますか?
ちなみに解答では
その前の問題で
整式P(x)を一次式x-aで割ったときの余りをRとすればR=P(a)となることを示せ
と言うことを証明したので、
これを使って次のようになってます。
P(x)がx=aで0になる、つまりP(a)=0ならば前の問題よりR=0となる。
したがって
P(x)=(x-a)Q(x)
つまりP(x)はx-aを因数に持つ。つまりある正式Q1(x)を用いて
P(x)=(x-a)Q1(x)
と表されるならば、この式のxにaを代入して、
P(a)=(a-a)Q1(a)
つまり
P(a)=0
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
#1です。
>この続きはいらないような気がするのですがこれが模範解答の必要条件の確認にあたるのですか?
P(x)=(x-a)Q(x) を示したところまでが必要条件の証明で、Q1 を用いている部分は、質問者さんの証明と同じで、十分条件の証明です。
Q ではなく Q1 と書いているのは、たぶん前のどこかで (x-a) を因数に持つとは限らない整式 P(x) に対して一般的に
P(x)=(x-a)Q(x)+R
としているので、混同を避けるためではないでしょうか。
こんなページ↓があります。
http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakua/inste …
やっと解決しました。
回答ありがとう御座いました。
私いまいち必要十分について理解できてないみたいです・・・
もう一回必要十分のあたりから勉強してみます。
ありがとう御座いました。
No.2
- 回答日時:
あれ? なんかおかしいなぁ....
「整式P(x)がx=aで0になる条件はP(x)がx-aを因数に持つこと」
って書かれると, なんとなく
「整式 P(x) が x-a を因数に持てば P(a) = 0」
って解釈したくなるんだけど.... でも, 因数定理は普通
「整式 P(x) が x=a で 0 になるなら x-a を因数に持つ」
の形だよなぁ. どっちを証明するの?
No.1
- 回答日時:
>やっぱり間違ってますか?
十分条件であることは示せても、必要条件であることが示せてないと思います。
この回答への補足
回答ありがとう御座います。
ということは逆の確認が要りますね。
あと、もう一つ聞きたいことがあります。
下の模範解答についてわからないところがあるのですが
ある整式Q1(x)を用いて・・・
という部分についてです。
その前のところでP(x)がx-aを因数に持つことはわかっているのですからこの続きはいらないような気がするのですがこれが模範解答の必要条件の確認にあたるのですか?
またそのときQ(x)をそのまま用いずある整式Q(x)を用いるのは何故でしょう?
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 数学の解法について こんばんは。最近数学の問題を解いています。証明問題を解いたのですが、解答とアプロ 4 2022/09/11 23:22
- 数学 『因数に分解するということ』 9 2022/06/27 06:14
- 数学 数学の高次式を因数で割るという方法がありますが、なぜ割ってよいのでしょうか? 例えば解の一つがx=1 5 2023/04/04 15:49
- 数学 某大学の数学入試問題で、フェルマーの定理絡みの問いがありました。 9 2023/02/14 08:35
- 数学 二次不等式 今までは 脳死に「因数分解」や「解の公式」を使って解いていたのですが写真の問題は解けませ 6 2023/04/27 22:16
- 高校 対数方程式につきまして 4 2022/05/05 07:55
- 数学 x^4-2x^2+16x-15=0 という因数分解の答えが、 (X-1)(X+3)(X^2-2X+5 4 2022/05/15 16:20
- 数学 数II 剰余の定理と因数定理 整式P(x)をxで割った余りが-4,x-2で割った余りが7である。 P 2 2022/07/03 13:38
- 数学 合同式について 3 2022/05/03 23:14
- 数学 数学 因数分解 高校などで習う因数分解では、 次数の最も低い文字に着目すると、 簡単に解ける場合があ 2 2022/08/02 22:55
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
キリスト教は、神がいる証明出...
-
数学の証明問題で、「証明終了」...
-
3,4,7,8を使って10を作る
-
婿養子に入ったのに出て行けと...
-
数学の「証明」のときなどの接...
-
証明終了の記号。
-
つながった2つのリングを外す
-
「証明証」と「証明書」はどう...
-
実息とは?
-
(4^n)-1が3の倍数であることの...
-
正の整数a.b.cが a^2+b^2=c^2を...
-
高校数学
-
lim[n→∞](1+1/n+1/n^2)^n=e の...
-
双子素数とゴールドバッハ予想...
-
無理数って二乗しても有理数に...
-
真ん中にも式があった場合どう...
-
ゼロの証明方法
-
数学的帰納法以外の解き方
-
夫が亡くなった後の義理家族と...
-
直角三角形の性質
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
証明終了の記号。
-
数学の「証明」のときなどの接...
-
数学の証明問題で、「証明終了」...
-
3,4,7,8を使って10を作る
-
「証明証」と「証明書」はどう...
-
夫が亡くなった後の義理家族と...
-
(4^n)-1が3の倍数であることの...
-
松坂和夫著「集合・位相入門」...
-
じゃらんで旅行予約をしたので...
-
素数の性質
-
素数の積に1を加算すると素数で...
-
図形の証明は、日常で役立ちま...
-
なぜ独身だと養子が持てないの...
-
大学の給付型奨学金について 現...
-
再婚、奨学金
-
正解が一つとは限らない数学の...
-
婿養子です、妻と離婚して妻の...
-
通学証明書の契印とは
-
よって・ゆえに・したがって・∴...
-
円周率=∞の証明
おすすめ情報