No.3ベストアンサー
- 回答日時:
#2です。
>解答を書いてくれていたので,それに近くなるまで,なんとか分かるようになって来ました。
A#2の補足のその先はやってみましたか?
(1)
(前半)
>1-i={2^(1/2)}e^(-iπ/4)
>絶対値は2^(1/2)=√2 ⇒ n乗する。
>位相(偏角)は -π/4 ⇒ n倍する。
(1-i)^n={2^(n/2)} e^(-i nπ/4)
mを任意の整数として
n=8mの場合 e^(-i nπ/4)=1なので
(1-i)^n={2^(n/2)}
n=8m+1の場合 e^(-i nπ/4)=e^(-iπ/4)=(1-i)/√2 なので
(1-i)^n={2^((n-1)/2)} (1-i)
n=8m-1の場合 e^(i nπ/4)=e^(iπ/4)=(1+i)/√2 なので
(1-i)^n={2^((n-1)/2)} (1+i)
n=8m+2の場合 e^(-i nπ/4)=e^(-iπ/2)=-i なので
(1-i)^n=-i {2^(n/2)}
n=8m-2の場合 e^(i nπ/4)=e^(iπ/2)= i なので
(1-i)^n=i {2^(n/2)}
n=8m+3の場合 e^(-i nπ/4)=e^(-i 3π/4)=-(1+i)/√2 なので
(1-i)^n=-{2^((n-1)/2)} (1+i)
n=8m-3の場合 e^(i nπ/4)=e^(i 3π/4)=(-1+i)/√2 なので
(1-i)^n=-{2^((n-1)/2)} (1-i)
n=8m+4の場合 e^(-i nπ/4)=e^(-i π)=-1 なので
(1-i)^n=-{2^((n-1)/2)}
(後半)
>√3-i=2e^(-iπ/6)
>絶対値は 2 ⇒ n乗する。
>位相(偏角)は -π/6 ⇒ n倍する。
(√3-i)^n=(2^n) e^(-i nπ/6)
mを任意の整数として
n=12mの場合 e^(-i nπ/6)=1なので
(√3-i)^n=(2^n)
n=12m+1の場合 e^(-i nπ/6)=e^(-i π/6)=(√3-i )/2 なので
(√3-i)^n={ 2^(n-1)} (√3-i)
n=12m-1の場合 e^(i nπ/6)=e^( i π/6)=(√3+i )/2 なので
(√3-i)^n={2^(n-1)} (√3+i)
n=12m+2の場合 e^(-i nπ/6)=e^(-iπ/3)=(1-i √3)/2 なので
(√3-i)^n= {2^(n-1)} (1-i √3)
n=12m-2の場合 e^(i nπ/6)=e^( i π/3)=(1+i √3)/2 なので
(√3-i )^n={2^(n-1)} (1+i √3)
n=12m+3 の場合 e^(-i nπ/6)=e^(-iπ/2)= -i なので
(√3-i)^n= -i (2^n)
n=12m-3の場合 e^(i nπ/6)=e^( i π/2)= i なので
(√3-i )^n=i (2^n)
n=12m+4の場合 e^(-i nπ/6)=e^(-i 2π/3)=-(1+i √3)/2 なので
(√3-i)^n= -{ 2^(n-1)} (1+i √3)
n=12m-4の場合 e^(i nπ/6)=e^( i 2π/3)=(-1+i √3)/2 なので
(√3-i )^n={2^(n-1)} (-1+i √3)
n=12m+5の場合 e^(-i nπ/6)=e^(-i 5π/6)=-(√3+i )/2 なので
(√3-i)^n=-{ 2^(n-1)} (√3+i)
n=12m-5の場合 e^(i nπ/6)=e^( i 5π/6)=(-√3+i )/2 なので
(√3-i)^n={2^(n-1)} (-√3+i)
n=12m+6の場合 e^(-i nπ/6)=e^(-i π)=-1 なので
(√3-i)^n=-( 2^n)
となります。
(2)
>(1+ω)^n=e^(i2nπ/3)=cos(2nπ/3)+i sin(2nπ/3)
nを任意整数としてこのままでも答えになりますが、
nで場合分けすれば
mを任意整数として
n=3mの場合
(1+ω)^n=1
n=3m+1の場合
(1+ω)^n=(-1+i √3)/2
n=3m-1の場合
(1+ω)^n=-(1+i √3)/2
となります。
No.2
- 回答日時:
>この2つを証明したいのですが
証明問題ではありませんね。単なる計算問題でしょう。
ヒント)
n乗前の項を絶対値と位相項に分けて、絶対値はn乗、位相項(絶対値=1)はn倍するだけ。単位円を描いて考えれば位相項のn乗は位相(偏角)をn倍するだけで良いでしょう。
オイラーの公式「e^(iθ)=cosθ+isinθ」を使えば単位円での位相項(偏角)とcos、sinの変換が簡単に出来、計算に役立つかと思います。
(1)
1-i={2^(1/2)}e^(-iπ/4)
絶対値は2^(1/2)=√2 ⇒ n乗する。
位相(偏角)は -π/4 ⇒ n倍する。
√3-i=2e^(-iπ/6)
絶対値は 2 ⇒ n乗する。
位相(偏角)は -π/6 ⇒ n倍する。
(2)
ω=e^(i2π/3),ω^2=e^(i4π/3)=e^(-i2π/3),ω^3=1
ω^3-1=(ω-1)(ω^2+ω+1)=0
ω≠1 ⇒ ω^2+ω+1=0 ⇒ ω+1=-ω^2=e^(i2π/3)
(1+ω)^n=e^(i2nπ/3)=cos(2nπ/3)+i sin(2nπ/3)
となるかと。
なぜこのように計算できるかは自分で良く考えて下さい。
ありがとうございます。色々,公式などを見直してみて,分かるようになってきました。
ちょっと,苦労をしましたが,info22さんが,解答を書いてくれていたので,それに近くなるまで,なんとか分かるようになって来ました。
No.1
- 回答日時:
こんにちは。
(1)の1
1-i の絶対値は、
|1-i| = √(1^2+1^2) = √2
よって、
1-i = √2・(1/√2 - i/√2)
= √2・(cos(-π/4) - isin(-π/4))
= √2・e^(-iπ/4)
よって、
(1-i)^n = (√2)^n・(e^(-iπ/4))^n
= 2^(n/2)・e^(-inπ/4)
= 2^(n/2)・{cos(-nπ/4) + isin(-nπ/4)}
= 2^(n/2)・{cos(nπ/4) - isin(nπ/4)}
こんな感じでやると、残りも解けます。
ありがとうございます。色々,公式などを見直してみて,分かるようになってきました。
計算途中まで書いていただいて大変ありがたかったです。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 1. 「f(z)=tan(z) の 0<|z-π/2|<π でのローラン展開は f(z)=tan(z 1 2022/07/20 21:56
- 数学 θ=π/2 のまわりでの f(θ)=sinθ/cosθのローラン展開に関して 以外の「」の解答を頂き 13 2022/11/11 09:45
- 数学 過去にしてきた質問に対する解答に関して質問が以下の1〜7に関して解答を頂きたく思います。 時間のある 34 2022/07/09 21:52
- 統計学 生物統計学の質問 7 2022/05/17 13:59
- 物理学 (1)秒針の角速度の大きさω(ω>0)を計算しなさい 単位はrad/s、πはそのまま残すこと (2) 3 2023/05/01 12:58
- 数学 高校生です。 この問題が解説がないため合ってるか分かりません。 この回答であってますか? 回答 g( 3 2023/01/24 14:05
- 数学 cos x = 0の解の書き方について 6 2023/05/31 08:06
- 工学 f(z)=tan(z) の 0<|z-π/2|<π での ローラン展開 f(z)=Σ_{n=-∞~∞ 4 2022/07/11 03:53
- 数学 複素数についての質問です。 1+iの主値を求める問題で回答が以下のようになっていました。 1+i = 5 2022/07/22 04:04
- 数学 三角関数の和 4 2023/06/17 18:33
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
「tan(z)の特異点z=π/2は1位の...
-
タンジェントのマイナス1乗に...
-
75°と255°と750°を弧度法に直し...
-
加法定理で
-
[数学] -Sinπ/2 と Sin(-π/2)...
-
高校数学 三角関数
-
円周率の求め方
-
三角関数の応用 どこが間違えて...
-
三角関数
-
位相差を時間に
-
sin(θ+2分の3π)が (θ+2分...
-
高2数学II
-
関数f(x)=[sinx]のグラフ
-
過去にしてきた質問に対する解...
-
関数y=-sinθ+√3cosθの最大値と...
-
cos(θ-π/2)=sinθ sin(θ-π/2)=-c...
-
0≦θ<2πにおいてのtanθ≦√3をみ...
-
数学IIの三角関数についてです...
-
大至急解答お願いします
-
問題 「x+y=3のとき、x² + y² ...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
0≦θ<2πにおいてのtanθ≦√3をみ...
-
cos(θ-π/2)=sinθ sin(θ-π/2)=-c...
-
余弦定理の問題です。 三角形AB...
-
関数f(x)=[sinx]のグラフ
-
sinx-cosx=√2sinx(x-π/4) と解...
-
三角関数
-
数3の複素数平面です 何で cos6...
-
数2 y =sinx+cosx (0≦x≦π)の最...
-
タンジェントのマイナス1乗に...
-
添付の三角関数の合成について...
-
問題 「x+y=3のとき、x² + y² ...
-
三角関数の合成
-
円柱と球面の囲まれる部分の体...
-
(関数の極限) lim(x→π/2)(2x-π)...
-
位相差を時間に
-
cos(-π/3)とsin(-π/3)の値
-
三角関数の合成の方程式
-
75°と255°と750°を弧度法に直し...
-
[数学] -Sinπ/2 と Sin(-π/2)...
-
「tan(z)の特異点z=π/2は1位の...
おすすめ情報