長さ3aの棒(質量m)が球(半径a)の中にある。棒の一端が球の中にあり

長さ3aの棒(質量m)が球(半径a)の中にある。棒の一端が球の中にあり、球の縁に支えられている。釣り合いの状態から、少しずれた場合に生じる微小振動の周期を計算せよ。(ただし、摩擦は無視)

ラグランジュ関数を求め、運動方程式を導きたいのですが、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの求め方がわかりません。

No.2 回答者： yokkun831 回答日時： 2010/06/13 14:41

運動方程式がちょっと違うように思われます。

エネルギー保存を使うのが簡便なので，やってみます。

エネルギー E = ma^2θ'^2(7/2 - 3cosθ) - mga sinθ(2cosθ-3/2)

つりあい位置　θ=θ0として，θ0からの微小角変位φとするとθ=θ0+φ

最大運動エネルギー＝初期位置とつりあい位置の位置エネルギー差

ma^2φ'max^2(7/2 - 3cosθ0)
= -mga[sin(θ0+φmax){2cos(θ0+φmax)-3/2} - sinθ0(2cosθ0-3/2)]

右辺をφmaxについて展開すると，つりあい条件からφmaxの１次項は消えるので，２次項まで残して近似します。

1/2・φ'max^2 = 1/2・g/a・(4sin2θ0 - 3/2・sinθ0)/(7 - 6cosθ0)・φmax^2

単振動における一般式　1/2・X'max^2 = 1/2・ω^2Xmax^2
と比較して，

ω = √(g/a)・√{ (4sin2θ0 - 3/2・sinθ0)/(7 - 6cosθ0) }

となりました。θ0は位置エネルギーを最小とするθとして求めれば，

cosθ0 = (3+√137)/16

ですから，T=2π/ωより周期を得ます。
もちろん，以上の議論は運動方程式そのものを近似して単振動の形式を求めても
いいわけです。a=48mの巨大な設定でシミュレーションしてみました。

No.1 回答者： yokkun831 回答日時： 2010/06/13 09:26

棒と半球の接点を原点に，水平方向にx軸，鉛直下方にy軸をとります。

棒の重心の座標・速度成分は，水平方向からの角度θとして

x = (2a cosθ - 3/2・a)cosθ
y = (2a cosθ - 3/2・a)sinθ

x' = aθ'sinθ(3/2 - 4cosθ)
y' = aθ'(-2sin^2θ+2cos^2θ-3/2・cosθ)

v^2 = x'^2 + y'^2 = a^2θ'^2(25/4 - 6cosθ)

K = 1/2・mv^2 + 1/2・Iθ'^2 = ma^2θ'^2(7/2 - 3cosθ)
U = -mgy = -mg(2a cosθ - 3/2・a)sinθ

となると思います。

この回答への補足

回答ありがとうございます。

実際に計算して運動方程式は次のように求まったのですが、複雑すぎて微分方程式が解けません。
ma^2θ"(7-12cosθ)+6ma^2θ'sinθ=amg(2cos2θ-3cosθ/2)

どの様に振動数を求めればよいのでしょうか？

補足日時：2010/06/13 12:09