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R[X_1X_2,…,X_n]=(R[X_1X_2,…,X_n-1])[X_n]
が定義され
R[X_1X_2,…,X_n]をR上のn変数多項式環、
その元をR係数n変数多項式というとき
n変数多項式は整理すると

Σ_(0≦i_1,i_2,…,i_n) a_i_1i_2…i_nX_1^i_1X_2^i_2…X_n^i_n
(a_i_1…a_i_n∈Rで和は有限和)とかける

ことを示したいです

教えてください

文章分かりにくくてごめんなさい

A 回答 (3件)

「環の拡大」とか「不定元を添加」とかいう言葉が、


不用意な想像を刺激するのでしょうね。
所与の環から部分環を取り出すことはできますが、
所与の環を「拡大する」ことなどできないのです。

拡大環 R[X] とは、環 L とその部分環 R と
R に含まれない L の元 X が与えられたとき、
L の部分環で R∪{X} を含む中で最小のものを
「R の X による拡大 R[X]」と言うのです。

拡大に先立って、環 L がなければならないし、
R の元と X との演算は、L 上の演算として既に
定義されていないといけない。
R だけが在るところへ X を持ってきて R[X] が
定義される訳ではない。始めに L ありきなのです。

で、多項式環の場合に L に当たるものは何か?
ということです。

この回答への補足

下の補足でだいじょうぶでしょうか?

補足日時:2010/06/13 01:50
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>Xを不定元とするR係数の多項式全体の集合は可換環をなし



「不定元」「R係数の多項式」とは何かを補足にどうぞ。

この回答への補足

可換環Rが与えられたとき文字Xを不定元とする
R係数の多項式は
p(X)=a_nX^n+a_n-1X^n-1+…+a_1X+a_0
=?(i=0からn)a_iX^i (a_i∈R)

なる形のものです

補足日時:2010/06/13 01:49
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まず環 R に対して R[x] を定義するのが先ではないですか?

この回答への補足

ごめんなさい
Xを不定元とするR係数の多項式全体の集合は可換環をなしこの可換環をR[X}
とします

補足日時:2010/06/12 14:05
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