V = {(x,y,z) | x^2 + y^2 + z^2 <= a

V = {(x,y,z) | x^2 + y^2 + z^2 <= a^2, x^2 + y^2 <= b^2} (a>b>0)の体積|V|

次の立体V = {(x,y,z) | x^2 + y^2 + z^2 <= a^2, x^2 + y^2 <= b^2} (a>b>0)の体積|V|を求めよ、
という問題で答えは
|V| = 2*∫∫_[x^2 + y^2 <= b^2] √(a^2 - x^2 - y^2) dx dy
= (4π/3)(a^3 - √{(a^2 - b^2)^3}).
となっています。

この問題の途中で、これ以上積分が出来そうにない部分が出てきますので、どうか助けてください。自分のやったところまで書きますと
|V| = 2*2*∫[0,b] dx 2*∫[0,√(b^2 - x^2)] √(a^2 - x^2 - y^2)　dy
= 8*∫[0,b] [(1/2){y√(a^2 - x^2 - y^2) + (a^2 - x^2) arcsin(y√(a^2 - x^2))}]_[0,√(b^2 - x^2)]
= 4*∫[0,b]　√(b^2 - x^2)√(a^2 - b^2) + (a^2 - x^2) arcsin{√(b^2 - x^2)/√(a^2 - x^2)} dx
…ここが、「これ以上積分が出来そうにない部分」です（実際、計算機でもこれ以上は計算してくれません）。
ただ、本に載っている例の値 a=1, b=1/2 を入力すると 1.46809 という答えになり、本の答え (4π/3)(a^3 - √{(a^2 - b^2)^3}) に a=1, b=1/2 を入力した場合とまったく同じ答えになります。

さて、手計算で　(4π/3)(a^3 - √{(a^2 - b^2)^3})　を求めるにはどうすればよいのでしょうか？

No.4 ベストアンサー 回答者： OKXavier 回答日時： 2010/06/14 18:01

ミスが多くてすみません。

>a^2-b^2=t　とおけば
は、コピペを失敗しました。

正しくは、
「a^2-r^2=t　とおけば」です。時間を浪費させてしまったようで、
申し訳ないです。

rからtの置換です。これでつじつまが合うはずです。

この回答への補足

今、問題をじーっと見ていて思ったのですが、
もしかして [a^2, a^2 - b^2] の a^2 - b^2 というのは

x^2 + y^2 + z^2 <= a^2 ... [1]
x^2 + y^2 <= b^2 ... [2]

とすると、[1]から[2]を引いた結果ですか？
そうするとx^2とy^2は消えて
z^2 <= a^2 - b^2
になりますよね？

だとしても、まだ何をしているのか想像できません。というのも、a>b>0からも判るようにaの方がbよりも大きいのですから、a^2 から a^2 - b^2 の範囲だと、まるで「球の表面」から「筒の表面」までの「外側の体積」を計算しているように思えます（とは言っても、その範囲で計算すると結果は合っているので、間違ってるのは絶対に私でしょうけど）。求めたいのは「筒で包まれた球の内側の体積」ですよね？やっぱり、0からbにしたくなっちゃいます。どうでしょうか？

補足日時：2010/06/14 23:06

この回答へのお礼

ありがとうございます。
いえいえ、答えていただいて本当に助かっています。

実はまだ、定義域だけ理解できていないので教えてください。
a^2-r^2=t
-2r dr = dt
r dr = (-1/2)dt
とおいて
∫[a^2, a^2 - b^2] t^(1/2) (-1/2) dt
と置換するまでは分かるのですが、
範囲がなぜ[a^2, a^2 - b^2]になるのかが分かっていません…。

本に載っている例の図は
a=1, b=1/2で
x^2 + y^2 + z^2 <= 1
x^2 + y^2 <= 1/2^2
となっています。
まるで球に筒を刺したような図です。
aは球の半径で、bは筒の半径ですよね、きっと。
それを踏まえても[a^2, a^2 - b^2]が分かりません。
どうか、また教えてください。お願いします。

お礼日時：2010/06/14 18:32

No.5 回答者： info22_ 回答日時： 2010/06/14 18:04

>V = 2*∫∫_[x^2 + y^2 <= b^2] √(a^2 - x^2 - y^2) dx dy

A#2の置換をして
>x=rcosθ,　y=rsinθ　( 0≦r≦b )の置換で、
>V=8∫[0,π/2]dθ∫[0,b]√(a^2-r^2)rdr
>
>さらに、a^2-b^2=t　とおけば、
ここは　「a^2-r^2=t　とおけば」の転記ミスのようです。

>
>V=8∫[0,π/2]dθ∫[a^2,a^2-b^2] t^(1/2)(-1/2)dt
>=4∫[0,π/2]dθ∫[a^2-b^2,a^2] t^(1/2)dt
=4(π/2)[(2/3)t^(3/2)] [a^2-b^2,a^2]
=(4π/3)[a^3-(a^2-b^2)^(3/2)]
>=(4π/3)[a^3-√{(a^2-b^2)^3}]

となりますね。

この回答へのお礼

ありがとうごさいます。

>ここは　「a^2-r^2=t　とおけば」の転記ミスのようです。

ちょうどANo2さんとすれ違いになったようですが、答えてくださった通りですね。
私は
∫[0,b] r(a^2 - r^2)^(1/2) dr
=∫[0,b] (-1/2)(a^2 - r^2)'(a^2 - r^2)^(1/2) dr
=[(-1/2)(2/3)(a^2 - r^2)^(3/2)]_[0,b]
…と解きました（つい前に、こちらのOKWaveで教えていただいた解き方です）。
これからはtで置換する方法も覚えておきますね。

お礼日時：2010/06/14 18:42

No.3 回答者： OKXavier 回答日時： 2010/06/13 19:21

ANo1です。

操作ミスで、誤った回答を送信してしまいました。ANo1は破棄して下さい。

この回答への補足

あら、新しい回答を送信されていたのですね。更新を何度も押したんですけど、見れませんでした…。

つまり、「ANo1は破棄で、ANo2を採用してほしい」ということですね。よかったです。というのも、どちらにしてもtでの置換がまだ理解できていませんので、教えていただきたかったですから。どうかお願いします。

補足日時：2010/06/14 09:13

No.2 回答者： OKXavier 回答日時： 2010/06/13 19:15

x=rcosθ,　y=rsinθ　( 0≦r≦b )

の置換で、
V=8∫[0,π/2]dθ∫[0,b]√(a^2-r^2)rdr

さらに、a^2-b^2=t　とおけば、

V=8∫[0,π/2]dθ∫[a^2,a^2-b^2]t^(1/2)(-1/2)dt
=4∫[0,π/2]dθ∫[a^2-b^2,a^2]t^(1/2)dt
これを計算して、V= (4π/3)(a^3 - √{(a^2 - b^2)^3})

No.1 回答者： OKXavier 回答日時： 2010/06/13 19:07

x=rcosθ,　y=rsinθ　( 0≦r≦b )

の置換で、
V=8∫[0,π/2]dθ∫[0,b]√(a^2-r^2)rdr

さらに、a^2-b^2=t　とおけば、

V=4∫[0,π/2]dθ∫[a^2,a^2-b^2]t^(-1/2)dt
これを計算して、V= (4π/3)(a^3 - √{(a^2 - b^2)^3})

この回答へのお礼

ありがとうございます。
円柱座標を使うんですね。( 0≦r≦b )や√(a^2-r^2)の部分などの式の成り立ちは理解できました。

ただ、「a^2-b^2=tとおけば」の置換と定義域の変更が理解できていません。8∫[0,π/2]dθ∫[0,b]√(a^2-r^2)rdr の中にあるのは a^2-r^2 で a^2-b^2 ではありませんから難しいです。rをbで表そうとしたんですが、やっぱり力不足で分かりません。

実は、積分したら a^2-b^2 が出てくるのではないか、と解いてみましたら、
3/8 ∫[0,π/2] { a^3 - √{(a^2 - b^2)^3} } dθ
になりました。予想通り出てきたのは良いのですが、θは含まれていませんので、後はもうπ/2を掛けるだけのようです。

多分、tで置換した方が簡単に積分できる気がしますので、どうやって置換するのか後学のために教えてください。

お礼日時：2010/06/14 09:07