16x^5-20x^3+5x+1の因数分解ができません。解き方とこのよ

16x^5-20x^3+5x+1の因数分解ができません。解き方とこのような問題を解くコツを教えてください。

No.3 ベストアンサー 回答者： banakona 回答日時： 2010/06/13 23:05

ｘ＝－１と置くと０になるので、（ｘ＋１）を因数に持つことが分かる。

組み立て除法などで商を求めると　１６x^4－１６ｘ^3－４ｘ^2＋４ｘ＋１
になる。

センスのいい人ならここでひらめくかもしれないけど、自分はひらめかなかったので、
偶数次の項だけでまとめてみる。
ｘ^4の係数が１６で、定数項が１なので（４ｘ^2－１）^2にならないかと考えた。（４ｘ^2＋１にしなかったのは、ｘ^2の係数がマイナスだったので、なんとなく）

帳尻あわせをすると、　（４ｘ^2－１）^2－１６ｘ^3＋４ｘ＋４x^2
　　　　　　　　　　　（４ｘ^2－１）^2－２・２ｘ（４ｘ^2－１）＋４x^2
ｔ＝４ｘ^2－１と置けば　　ｔ^2－２・２ｘｔ＋（２ｘ）^2
なので　　　　　　　　　　(ｔ－２ｘ)^2
もとに戻して　　　　　　　（４ｘ^2－１－２ｘ）^2
ｘ＋１を忘れずに　　　　（ｘ＋１）（４ｘ^2－２ｘ－１）^2

この回答へのお礼

ナンセンスなので１６x^4－１６ｘ^3－４ｘ^2＋４ｘ＋１で止まってしまってたんです。進学校理系クラスで一人も解けなかった問題なんですよ。ためになりました、ありがとうございます。

お礼日時：2010/06/13 23:56

No.2 回答者： sanori 回答日時： 2010/06/13 23:03

こんにちは。

因数分解が不得意な理系のおっさんです。

「因数定理」って聞いたことありますか？
いかつい名前ですが、要するに、ｘ＝ａ　を代入したとき式の値がゼロになるのであれば、
その式は、ｘ－ａ　で割り切れるということです。

まず、試しに、ｘ＝１　を代入してみましょう。
すると、
式の値　＝　１６　－　２０　＋　５　＋　１　＝　ゼロじゃない（失敗）

次に、ｘ＝－１　を試します。
式の値　＝　－１６　＋　２０　－　５　＋　１　＝　０　成功！！！
よって、式は、ｘ＋１　で割り切れます。

合っているか自信がないですが、
式　＝　（ｘ　＋　１）（１６ｘ^4　－　１６ｘ^3　－　４ｘ^2　＋　４ｘ　＋　１）
後ろのかっこの中が、まだ分解できるかもしれません。

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2010/06/13 23:00

x=-1を代入すると16x^5-20x^3+5x+1＝0

よってｘ+1を因子に持ちます。割り算して
16x^5-20x^3+5x+1=(x+1)(16x^4-16x^3-4x^2+4x+1)
この先が進まないですね。