積分

∫1/(2+3x)√4-x^2 dx
の不定積分はどうやって求めればいいのでしょうか。
なかなかうまくいかないので、教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： adinat 回答日時： 2003/07/10 04:39

初めまして。

恐らく学部3回生の方のようなので、概略だけ。

披積分函数は1/((2x+3)(4-x^2)^(1/2))でよいですよね？(√4-x^2も分母に来ているのか、という意味です)まず結果だけを書いておくと
log(2x+3)/√7-log(8+3x+√(28-7x^2))/√7
になるようです。微分して確かめてみてください。
下の参考URLに書いてあるTHE INTEGRATERというとても便利なソフト(ブラウザで直接利用できます)がありますので実際に計算させてみるのも面白いかと思います。

それでやり方なのですが、この手の問題（通常の多項式と√の中に2次以下の多項式がある有理式）は基本的にうまい変数変換を施せば有理化できるということが知られています。詳しくはお持ちでしたら解析概論(高木貞治、岩波書店)なんかも参照されるとよいと思います。
この場合は√の中身が判別式>0になっていますので、次のような変数変換を考えます。
t→√-(t-α)/(t-β)　α,βは√の中身=0とおいた二次式の2実根
この問題ではt→√(2-t)/(2+t)とおけばよいことがわかります。これを頑張って計算すると恐らく(tの2次式)/(tの4次式)になると思われますので、部分分数展開か何かを使って計算することが可能です。

ただし申し訳ないですが、計算が非常に煩雑なので省略させてもらいます。もしかしたらうまく行かないかも知れませんが、参考程度に。

ついでですが、こういう問題はさらにうまい変数変換が存在してより手早く計算できる場合があります。他の方がコメントして下さるかも知れません。ですが、上記のような方法で確実に有理化させて普通の有理式の積分に持ち込むことは可能です。

参考URL：http://integrals.wolfram.com/index.ja.cgi

この回答へのお礼

教えていただいた変数変換を使うとうまく計算できました。ありがとうございました。もう学部3回生ですが微積分学については今年初めて履修をしている1回生です(笑）

お礼日時：2003/07/10 11:13