No.2ベストアンサー
- 回答日時:
漸化式だけ
mは偶数でなければばらないので、m=2kとします。
3×2kの長方形に2×1の長方形を敷き詰めるときの敷き詰めかたの数をA(k)とすると、
A(1)=3
A(2)は、
3×4の敷き詰めかたが3×2と3×2に分けられる場合は、A(1)*A(1)通り、
3×2と3×2に分けられない場合は、2通りなので、
A(2)=A(1)*A(1)+2=11
A(3)は、
3×6の敷き詰めかたが3×2と3×4に分けられる場合は、A(1)*A(2)通り、
3×2と3×4に分けられないが、3×4と3×2に分けられる場合は、2*A(1)通り、
3×2と3×4にも3×4と3×2にも分けられない場合は、2通りなので、
A(3)=A(1)*A(2)+2*A(1)+2=41
というように考えると、漸化式は、
A(0)=1
A(n)=A(n-1)+2*Σ[i=0・・・n-1]A(i) (n>0)
No.4
- 回答日時:
#2です。
ついでに一般項を。A(n)=A(n-1)+2*Σ[i=0・・・n-1]A(i)
A(n-1)=A(n-2)+2*Σ[i=0・・・n-2]A(i)
上式から下式を引くと
A(n)-A(n-1)=A(n-1)-A(n-2)+2*A(n-1)
A(n)=4*A(n-1)-A(n-2)
α=2+√3、β=2-√3 とおくと、
A(n)-β*A(n-1)=α*(A(n-1)-β*A(n-2))
B(n)=A(n)-β*A(n-1)
とおくと、
B(n)=α*B(n-1)
あとは御自分でどうぞ。
No.1
- 回答日時:
参考程度の意見で書かせてもらいます。
mが奇数の時は敷き詰められないのは理解できていますか?長方形をk個敷き詰めると・・・
3×m = 奇数 ですが、
2×k = 偶数 で、面積が絶対に等しくなることはありません。
なので、mは2以上の偶数として話を進めましょう。
まず初めにm=2のとき敷き詰め方は何通りあるでしょうか?
これは自分で考えられると思います。3通りあります。
それではnを自然数としてm=2nのとき(mは偶数なので)A(2n)通り敷き詰め方があるとすると
普通はA(2n+1)の時を考えて漸化式を考えますが、このときは奇数なので詰められないですよね。
なのでA(2(n+1))=(A(2n+2))の時を考えましょう。
このとき、長方形は、3×2nから3×(2n+2)に変わっていますので最後に3×2分のスペースが空くことになります。このスペースへの敷き詰め方は何通りありますか?A(2)と同じですよね?
なので、漸化式は
A(2(n+1)) = A(2n) + 3 ,A(2) = 3
と、なります。後は基本通りに、等差数列の漸化式を解いていけば出ると思います。
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