Σ記号について

Σ記号について
Σの上に書く数字は、Σの下に書く数字より大きい自然数でないとだめなのでしょうか？下に書く数字と同じ数字では記号のルール的にだめなのでしょうか？
数列{Ａn}の第n項までの和をＳnとするときにはＳ1＝Ａ1としてもいいから、Σ記号でもやっていいことなのかどうか気になって質問しました。
よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： proto 回答日時： 2010/06/25 20:49

高校までなら、Σの下に「k=1」や「i=1」などを書き、Σの上に「n」や具体的な数字などを書くことが多いですね。

ですが、Σの書き方としてこれが絶対、これが全てではありません。

例えば、i,jを整数として、ある数a[i,j]が決まるとき
　　a[1,1] , a[1,2] , a[1,3]
　　a[2,1] , a[2,2] , a[2,3]
の和を、Σを使って
　　Σ[1≦i≦2,1≦j≦3]{a[i,j]}
と書いたりします。
紙に手書きする場合には、Σの下に「1≦i≦2」と「1≦j≦3」を縦に並べて書き、Σの上には何も書きません。
このような書き方でも、それを使う文脈的に間違いなく伝わるならばそれでokとされます。


もう一つ例えば、
ある自然数nに対して、nの約数dを考えるとき。
具体例で、n=12のときnの約数は
　　1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12
ですが、それら全ての和を
　　Σ[d|12]{d} = 1+2+3+4+6+12
と書いたりします。
この場合にはΣの上に「d|12」と書き、Σの下には何も書きません。
(d|12は、dで12が割り切れるという意味。整数論で使う。)


このように数学の様々な分野、様々な先生の著書を見渡すと、Σの書き方にも結構色々あります。
結局は「Σ」という記号で、たくさんの数を足し合わせるという意味が伝わればよいので、その周辺の記号はどこからどこまで足すのかと言うのが正しく伝われば書き方は自由なのです。

ただし、なるべく分かりやすく、なるべく誤解を招かないように書くという努力を放棄してはいけませんよ。
学校の試験の場合、採点の先生に正しく伝われば点数がもらえるし、正しく伝わらなければ点数はもらえません。
ですから、現実問題としては教科書の書き方に倣うのが無難でしょう。
ですが教科書の書き方が全てではありません。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2010/06/25 18:28

Σでも、∫でも同じです。

上端と下端を入れ換えれば、
値の符号が反転するだけです。
Σの上端や下端が整数でなかったら、
流石にちょっと困りますが。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/06/25 15:27

「同じ」までならある. 上のほうが小さかったりするとややこしいことになるが.

No.1 回答者： aokii 回答日時： 2010/06/25 15:09

単なる習慣です。

解りやすければ、別に問題はありません。