可換群Gの二つの元a,bのそれぞれの位数m,nが

可換群Gの二つの元a,bのそれぞれの位数m,nが
互いに素ならば、abの位数はmnである。


この証明が分からないです。

あと、位数m,nが互いに素なようになる可換群はどのようなものがあるでしょうか？
例えばmodの世界において考えると、
mod nの時、位数はn-1の約数になるので互いに素にはならないと思うのです。

そもそもが間違えているかもしれません。
優しく教えていただければ幸いです。

よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： yoikagari 回答日時： 2010/06/25 22:47

abの位数がmnとなること

以下にあげる♪の「位数の性質」がポイントになると
「Gの元aの位数がmとする。整数kに対してa^k=eとなるとき
kはmで割り切れる」…♪

Gの単位元をeとする。

abの位数をxとする
(ab)^(mn)={a^(mn)}{b^(mn)}=e*e=e
だから♪の位数の性質よりmnはxで割り切れる。…※

またabの位数はxだから、(ab)^x=eがいえる。

e=(ab)^(nx)={a^(nx)}{b^(nx)}=a^(nx)
よってa^(nx)=eとなる。
aの位数がmだから、♪の位数の性質よりnxがmで割り切れる
mとnは互いに素だから、xがmで割り切れる。…☆

e=(ab)^(mx)={a^(mx)}{b^(mx)}=b^(mx)
よってb^(mx)=eとなる。
bの位数がnだから、♪の位数の性質よりmxがnで割り切れる
mとnは互いに素だから、xがnで割り切れる。…★

☆と★よりxはmかつnで割り切れる。
m,nは互いに素だからm,nの最小公倍数はmnとなるから
xはmnで割り切れる。…§

※と§よりx=mnとなることがいえる。
したがってabの位数がmnとなる。

君の疑問に関して
そもそも「どんな演算に関して群になるのか」きちんと考えないから、君の議論はおかしくなる。
例えば加法に関して群をなす集合と、乗法に関して群をなす集合をいっしょくたに扱ったらおかしくなるのは当たり前。
群を考えるときは、どんな演算に関して群となるのかきちんと認識することが大事。

ex.体Fを考えるとき、Fは加法に関して群をなしている。
そしてFから0を除いた集合F-{0}は乗法に関して群をなしている。

可換群の実例
mとnを互いに素な実数とする
剰余環Z/mZとZ/nZは、位数がそれぞれm,nとなる加法に関する群となる。
そしてZ/mnZは位数がmnとなる加法に関する群である。

この回答へのお礼

丁寧な証明本当にありがとうございます。
分かりやすくて、納得できました。

疑問についても優しく教えていただいて本当にありがとうございます。


ありがとうございました。

お礼日時：2010/06/29 14:17

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2010/06/26 17:10

確かに、mod は例がよくなかった。

剰余環 Z/mZ の乗法半群が群になるのは、
m が素数の場合だけ。
m=2 なら、m-1 は 1 だから
n-1 と素にならないし、
m と n が共に奇素数であれば、
m-1 と n-1 は公約数 2 を持つ。

他の例を考えたほうがよい。
1 の m 乗根(複素数)がなす乗法群など
どうだろう。

この回答へのお礼

modの例がよくない理由まで教えていただいてありがとうございます。

教えていただいた例を、発表のレポートに入れてみようと思います。


ありがとうございました。

お礼日時：2010/06/29 14:19

No.1 回答者： koko_u_u 回答日時： 2010/06/25 22:07

>位数はn-1の約数になるので互いに素にはならないと思うのです。

ん？具体的に例えば 24 の約数を列挙してみるべきです。