数学教えてください!
半径aの円Oの周上に動点Pと定点Aがある。Aにおける接線上に AQ=AP であるような点Qを直線OAに関してPと同じ側にとる。PがAに限りなく近づくとき、PQ/AP^2(弧)の極限値を求めよ。
解答を見ると、
θ=∠AOP 0<θ<π とおくと
AP=2a×sin(θ/2)
AP(弧)=aθ
また、接線と弦の作る角の性質から
∠PAQ=AP(弧)の円周角=θ/2
△APQは二等辺三角形であるから
PQ=2APsin(θ/4)=4a×sin(θ/2)sin(θ/4)
PがAに限りなく近づくとき、θ→+0 であるから、求める極限値は…
となっていて、極限値を求めるのはわかるんですけど、何故AP=2a×sin(θ/2)になるのかと、“△APQが二等辺三角形であるから”PQ=2APsin(θ/4)となる理由がわかりません。
わかりやすく説明してください!
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
せっかく図が出ているので、先の回答さんの図を見てもらって、
θ=∠AOP 0<θ<π とおくと 円周角の定理より ∠ARP=θ/2
ここで、△APR において、正弦定理を使うと
AP / sin(θ/2)=2a ,
だから、 AP = 2a×sin(θ/2)
AP(弧)=aθ ← (半径)×(中心角)
また、接線と弦の作る角の性質から(接弦定理)
∠PAQ=∠ARP = θ/2
△APQは二等辺三角形であるから
頂角A から底辺PQ に対し、垂線を下ろし、その足をH とすると、
その垂線は頂角A の角の2等分線であり、AH は底辺PQ を垂直2等分する。
△APH (直角三角形)において、 ∠PAH = θ/4
sin∠PAH = sin(θ/4)= PH / AP { 三角比 (高さ)/(斜辺) }
PH = AP × sin (θ/4)
ここで、PQ = 2 × PH = 2×{ AP × sin (θ/4) }
だから、PQ = 2 AP sin (θ/4) となる。
よって、 PQ = 2× { 2a×sin(θ/2)} × sin (θ/4)
※注 2倍角 sin(θ/2)= sin {2×(θ/4)}= 2× sin(θ/4)× cos(θ/4)
= 2 × 2a × { 2×sin(θ/4)× cos(θ/4)} × sin (θ/4)
= 8a ×{ sin^2(θ/4) }× cos(θ/4)
質問の中の極限値について、
分母の(AP)^2 = ( aθ )^2 =a^2 × θ^2
分子の PQ = 8a ×{ sin^2(θ/4) }× cos(θ/4)
PQ / (AP)^2
= { ( 8a ×{ sin^2(θ/4) }× cos(θ/4) ) } / {a^2 × θ^2 }
= { 8a × cos(θ/4) × { sin(θ/4)}^2 } / { a^2 × (θ/4)^2 × (4^2) }
= { ( 8a × cos(θ/4) )/ ( a^2 × 16 ) } × { { sin(θ/4)}^2 / (θ/4)^2 }
ここで、θ → +0 極限をとると
cos(θ/4) → 1 , { sin(θ/4)}^2 / (θ/4)^2 } → 1
※2注 θ → 0 のとき、 { sinθ / θ } → 1 を利用。
= { ( 8a × 1 ) / ( 16 × a^2 ) } × 1
=1 / (2a) となる。
No.3
- 回答日時:
質問者さんへ!
すみません!!極限値の答えはいくつでしたか?
のせてくれたら、質問に答えます!!!
ちょっと気になったんで…
No.1
- 回答日時:
>何故AP=2a×sin(θ/2)になるのか
△AOPはAO=PO=aの二等辺三角形で頂角∠AOP=θあるからです。Oから底辺APに
垂線を下してみれば解ります。
>△APQが二等辺三角形であるから”PQ=2APsin(θ/4)となる理由
△APQはAQ=APになるように最初に定めています。
最初の質問にあったようにAP=2a×sin(θ/2)=AQです。
>また、接線と弦の作る角の性質から
∠PAQ=AP(弧)の円周角=θ/2 (1)
よって頂角∠PAQ=θ/2です。
従って頂角∠PAQ=θ/2、等辺=AP=2a×sin(θ/2)の三角形の底辺として
PQ=2APsin(θ/4)が求められます。
これはAからPQに垂線を下してみれば解ります。
(1)は解りますか。接線と円周角の関係として重要な関係なので
教科書、参考書等で確認しておいてください。
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