ε-δ論法の問題です。

ε-δ論法の問題です。

ｘ＾３→１ （ｘ→１）をε-δ論法を使って示そうってゆうものです。

定義は知ってるのですがうまくいきません；；

よろしくお願いします.

No.2 ベストアンサー 回答者： 112233445 回答日時： 2010/07/01 15:01

参考書を見ながらやってみました。

参考になるかどうか分かりませんが、やってみました。
δ=(1+ε)^(1/3)-1とおく。
|x-1|<(1+ε)^(1/3)-1
これを変形すると
-(1+ε)^(1/3)<2-(1+ε)^(1/3)<x<(1+ε)^(1/3)
よって、-(1+ε)^(1/3)<x<(1+ε)^(1/3)
3乗して、１をひくと、
|x^3-1|<ε
よって、任意のεに対し、|x-1|<δとなるδが存在し、|x^3-1|<ε
となるから、示せた。

No.6 回答者： muturajcp 回答日時： 2010/07/05 03:28

∀ε>0

∃δ=min(ε/7,1)
|x-1|<δ
→
|x^3-1|=|(x-1)(x^2+x+1)|<δ((1+δ)^2+1+δ+1)≦7δ≦ε

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/07/02 23:58

うぃ, それなら全く問題なく正しいです＞#4.

でも, 自分なら δ = min { ε/7, 1 } ととる.

No.4 回答者： 112233445 回答日時： 2010/07/02 09:23

おっしゃる通り、左辺はおかしいです。

訂正を考えました。
{2-(1+ε)^(1/3)}^3-{(1-ε)^(1/3)}^3
=・・・・
x=1+εとおくと、
=6(x-1)^2>0
よって、左辺の不等式は
(1-ε)^(1/3)<x
となる。
いかがでしょうか。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/07/01 19:28

-(1+ε)^(1/3)<x<(1+ε)^(1/3) を 3乗して 1 を引いても |x^3-1| < ε にはなりませんよ＞#2

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/07/01 10:03

では, まず「x→a のとき f(x)→b」の定義を書いてみてください.

そして, 「うまくいかない」というのが「どう」うまくいかないのかを書いてください.