３人で競う時に勝つ確率

３人で競う時に勝つ確率

Ａさん，Ｂさん，Ｃさんの３人で競う時にＡさん、Ｂさん、Ｃさんが勝つ確率はそれぞれどれくらいでしょうか？

ただし、前提条件として
ＡさんとＢさんの２人で競ったときはＡさんが勝つ確率は0.6（Ｂさんが勝つ確率は0.4）
ＡさんとＣさんの２人で競ったときはＡさんが勝つ確率は0.7（Ｃさんが勝つ確率は0.3）
ＢさんとＣさんの２人で競ったときはＢさんが勝つ確率は0.6（Ｃさんが勝つ確率は0.4）


こんな問題を思いついたのですが、自分で解くことができません。
確率に詳しい方、よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： kentarou2333 回答日時： 2010/07/23 10:21

すいません。

A と C が対戦した時の勝率を見間違えて
いました。そのため、周辺確率無しでも計算できますね。

さて、まず、A の平均を 0, 分散を 1 にしても一般性は
失われないので、

Ａの平均値が 0, 分散を 1
Ｂの平均値が A2, 分散を V2
Ｃの平均値が A3, 分散を V3

としましょう。

全員の分散を同じとしてしまうと、自由変数が A2 と A3 の
二つだけになってしまいますので、解なしになってしまう
可能性があります。
（もっとも、４元連立３次方程式になるのでこのままでも解けませんが）


さて、ＡとＢが競った時、ＡとＢのスコアの差は、

平均値 0-A2, 分散が 1+V2 になります。

この時、正規分布で勝率が 0.6 になるためには、
Excel で、=NORMINV( 0.6,0,1) をすると、偏差が 0.25 ぐらいだと
分かるので、（正規分布表でもいいですが）

　0-A2 = √(1+V2) x 0.25

となります。

同様に、ＢとＣが競った時のの勝率から、

　A2-A3 = √(V2+V3) x 0.25

同様に、ＡとＣが競った時の勝率から、

　0-A3 = √(1+V3) x 0.52



となります。４元連立３次方程式で解けないので
とりあえず V2 を 1 としてあげると、
解けて、それぞれ約ですが、

A2 = -0.35
V2 = 1
A3 = -0.69
V3 = 0.74

となります。

ここから難しいですね。
それぞれの平均と分散は求められたのですが、計算で確率を計算する
方法が思い浮かばなかったので、モンテカルロ法でシミュレーション
してみました。（実際に乱数で何度もやってみる方法です）

すると、1万回の試行で、

Ａは、49.5%
Ｂは、31.9%
Ｃは、18.6%

となりました。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
大変、参考になりました。

お礼日時：2010/07/28 11:01

No.2 回答者： kentarou2333 回答日時： 2010/07/22 14:43

No.1 さんのおっしゃるように、そもそも競う方法が

分からないとなんとも言いにくいでしょう。

そもそも野球だったら、3 人で競う事もできないです。
リーグ戦にするのも一つだと思いますが、
その場合の試合の回数によっても確率は変わるでしょう。

プロレスのようなものであれば、それなりに実力が
拮抗していると、その中のちょっと強い人が最初に
二人に攻められて、勝つ確率が悪くなるなんていうのも
あるように、三人になると、様々な戦略が出てくる
場合が多いかと思います。

また、100m走や、ゴルフのように、他人との関係がなく、
純粋にスコアを競うのであれば、そもそも３すくみの
関係にすらならないでしょう。
相性によってスコアが、変化するという事であれば、
３人で競った時の誰が、どう有利かというのは、
条件に上げられた確率ではすまないでしょう。


つまり、実際に競う方法を明らかにしないと、
この問題は解けないという事です。

特に、３人で競う場合は、戦略もからみ、定式化は
難しいでしょう。


ただ、もし解があるとしたら、３人で輪になって
将棋の２面打ちを、お互いにやるような状況でしょうか。

この場合、

Ａさんが、ＢとＣの両方に同時に勝つ確率は、
0.6 * 0.3 => 0.18

Ｂさんが、ＡとＣの両方に同時に勝つ確率は、
0.4 * 0.6 => 0.24

Ｃさんが、ＡとＢの両方に同時に勝つ確率は、
0.7 * 0.4 => 0.28


となります。

それ以外の場合( 残り 30% )は、どうなるかと
いうと、ちょうど１勝１敗の状態になり、
「あいこ」になります。

再試合すると、また同じ確率になりますので、
それぞれの勝率の比は、

9:12:14 となり、約26%, 34%, 40% の勝率になります。

（これは、実は、３人でリーグ戦をする場合と同じですけどね）

この回答へのお礼

詳しい回答をありがとうございます。
考えていたものとしては、今回あげていただいた例の中では１００ｍ走で同時に走る場合に相当します。

この場合、周辺確率だけではなく、同時確率もわからないとやはり答えが出ないのでしょうね。
とりあえず実際の解決方法として、発揮する能力が同じ分散を持つ正規分布であるとして解いてみましたが、これよりもっといい方法があるでしょうか。

お礼日時：2010/07/23 07:43

No.1 回答者： k_kota 回答日時： 2010/07/21 21:51

問題が不完全です。

2人で競ったときの確率と3人で競った時の確率の関係が明らかではありません。

なので、問題をしっかり定義してください。

この回答への補足

このままでは解けないということですね。
たとえば、どのような条件があれば解けるようになるのか、しっかり教えてください。

補足日時：2010/07/21 21:57