微分してイコール０にする（導関数）

私は高校、大学共に商学部なので数学の知識は中学で止まっていて周りの大人も分からないというので、中学生レベルで教えてくれると嬉しいです。今最適消費量を求めているのですが、ｕ＝-0.5x^2+100x,微分してイコール０にする（導関数）→
u/x=100-x=0 とあってその横に、0.5X2x^2-1　と書いてあるのですが、導関数のやり方が分かりません。分かる方お見えでしたら、私を救ってください。お願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： fushigichan 回答日時： 2003/07/21 15:07

Lisa92さん、こんにちは。

導関数について、知りたいということなんですね。

導関数とは、ある文字式を、ある文字について微分する、ということです。
大抵の場合、xについて微分します。

x^3　←これを、xについて微分したものは、
3x^2　のようになります。
　　　x^3の「３乗」の３が前に出て、3乗→2乗と、一つ次数が減っています。

x^5　←これの微分はどうでしょうか？
同じように考えて、x^5の５乗の５が前に来て、５乗→４乗とすればいいのです。
答えは、5x^4　となります。

x^a　←これの微分は、
ax^(a-1)
となることは公式として、覚えてしまいましょう。

さて、次に
6x^3　←これの微分はどうでしょうか。
さきほどやりました、x^3の微分は、３乗が前に出て、３乗→２乗と減らせばいいので
3x^2
となることは、いいかと思います。
6x^3　というのは、６×x^3ですから、６倍ですね。
ですから、6x^3の微分は、x^3の微分を６倍してやったものと同じと考えてください。

(6x^3)'←(6x^3)を微分する、という記号
=6*(x^3)'
=6*(3x^2)
=18x^2
のように求められます。

一般に、
(bx^a)'←bx^aの微分
=b*a*x^(a-1)

ということを、頭に入れておきましょう。

さて、ここで問題に戻りましょう。
＞ｕ＝-0.5x^2+100x,微分してイコール０にする（導関数）

u=-0.5x^2+100xの微分ですが、
x^2の微分は、2xですね。
xの微分は、x=x^1ですから、１になります。
-0.5x^2+100xの微分は、
(-0.5x^2+100x)'=(-0.5)(x^2)'+100*(x)'
=(-0.5)(2x)+100
=100-x

という風になるんですね。
u=-0.5x^2+100x
としたときに、その導関数（xについての微分）は、
du/dx=100-x
↑
ディーエックス分のディーユー、でＵをｘについて微分した、という意味

導関数が０になるときを求める、ということですから

du/dx=100-x=0
とおくと、x=100
と求められますね。

頑張ってください。
公式は、

(x^a)'=ax^(a-1)

(bx^a)'=bax^(a-1)


これを頭に入れてトライしてみてくださいね。
分からないことがあれば、また補足してください。
頑張ってくださいね！！

No.3 回答者： gukky 回答日時： 2003/07/21 14:17

u(x)=-0.5x^2+100xをxについて微分した結果が導関数と呼ばれるものです。

微分というのは、この場合xが微小量(Δx)変化したときにu(x)がどれくらい変化するかを求めるものです。
ですから、lim(Δx→0)　[(u(x+Δx)-u(x))/Δx]
というのがu(x)の導関数となります。
今回の場合、
u(x+Δx)-u(x)={-0.5*(x+Δx)^2*+100*(x+Δx)}-{-0.5*x^2+100*x}=-x*Δx-0.5*Δx^2+100*Δx
なので、[(u(x+Δx)-u(x))/Δx]=-x-0.5*Δx+100
となり、Δx=0とすれば 導関数=-x+100 が求められます。
尚、この微分した結果が0となるのは、今回のような2次関数の場合、u(x)が最大又は最小となる場合で、今回は2次の係数が負なので、最大値を求めていることになります。

No.2 回答者： kajyukun 回答日時： 2003/07/21 13:48

微分のしかたですが

Ax^B をxで微分した場合（えーエックスのびーじょう）
ABx^(B-1)
となります。
2x^3ならば
6x^2です。

ちなみに微分=0ということは傾きが0を探しているわけです。

No.1 回答者： mirage70 回答日時： 2003/07/21 13:44

nを自然数、a≠0とし、U=ax^nを微分しますと、

dU/dx=anx^(n-1)となります。
いま、U=-0.5x^2+100xですので、
dU/dx=-0.5*2x^(2-1)+100*1x^(1-1)
=-x+100x^0=-x+100=100-xとなります。
x^0=1はおわかりですか。
Uをxで微分しますので、＋を挟んで２カ所ありますので、
別々に微分して＋でむすめばよいです。
>0.5X2x^2-1　と書いてあるのですが、
此は、0.5x^2を微分したものです。
(0.5x^2)'=0.5*2x^(2-1)でして、２－１を括弧でくくっておけば、もっと理解しやすかったものと思います。