マクローリン展開について

マクローリン展開について

マクローリン展開の公式は覚えているのですが、実際にマクローリン展開しx^4の項まで求めよ、という問題が出ると解けません。
f(x)=sinxをx^4までマクローリン展開すると、答えがx-(x^3/3!)+・・・・となっていました。
x^4までとはどのように計算して行ったら上のような回答が出るのでしょう？

No.3 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2010/08/09 18:02

マクローリン展開の公式でx^4の項以下まで計算すれば言いということだから

f(0)=sin(0)=0
f'(0)=cos(0)=1
f''(0)=-sin(0)=0
f'''(0)=-cos(0)=-1
f''''(0)=sin(0)=0
ここまで計算して代入すれば良いと言うことです。
これらを展開公式に代入すれば良いでしょう。

f''''(0)=0なのでx^4の項は消えるのでx^3の項までしか存在せず

f(x)=sin(x)=x-(x^3/3!)+・・・

となるだろう。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
公式に突っ込みながらやったらできました。

1つ質問なのですが、fx=sinx/xをgx=sinxのマクローリン展開を利用して求めろとあったのですが、この場合はどうなるのでしょう？

お礼日時：2010/08/09 20:38

No.6 回答者： alice_44 回答日時： 2010/08/09 23:46

最初の質問についてですが、

「x^4 までマクローリン展開せよ」と言われたら、
sin x = x - (x^3/3!) + … などとは書かないで、
「x^4 まで展開した」ことを明示するように、
sin x = x - (x^3/3!) + o(x^4) とか、
sin x = x - (x^3/3!) + (1/5!)(cos c)x^5 とか、
sin x = x - (x^3/3!) + (1/4!)(cos θx){(1-θ)^4}(x^5) とか、
sin x = x - (x^3/3!) + (1/4!)∫[t=0…x](cos t)(t^4)dt とか、
何らかの形で、剰余項を付けて書くとよいでしょう。
そうすれば、x^4 の係数が 0 になっていることは
一目瞭然です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
これからはそのように書いていきたと思います。

お礼日時：2010/08/09 23:50

No.5 回答者： info22_ 回答日時： 2010/08/09 21:19

#3です。

A#3の補足の質問について

>1つ質問なのですが、fx=sinx/xをgx=sinxのマクローリン展開を利用して求めろとあったのですが、この場合はどうなるのでしょう？
g(x)=sin(x)=x-(x^3)/6+(x^5)/120+...
これをxで割れば
f(x)=sin(x)/xのマクローリン展開になります。
しかし、f(x)をx^4の項まで求めよ」という問題であれば
g(x)は上の式のようにx^5の項までマクローリン展開しておかないといけないね。
そうすれば
f(x)=sin(x)/x
= (1/x){x-(x^3)/6+(x^5)/120 + … }
= 1-(x^2)/6 +(x^4)/120+ …

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
詳しく教えていただき助かります。

お礼日時：2010/08/09 23:48

No.4 回答者： noname#117170 回答日時： 2010/08/09 21:18

>>fx=sinx/xをgx=sinxのマクローリン展開を利用して求めろとあったのですが、この場合はどうなるのでしょう？

まだまだ考える力が欠けているな。
もっと頭使わなきゃ。gx=sinxをxで割れ！

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
ｘで割ってしまえばよいのですか。

お礼日時：2010/08/09 23:44

No.2 回答者： R_Earl 回答日時： 2010/08/09 17:52

見方を変えれば

x - (x^3/3!) = x + (0・x^2) - (x^3/3!) + (0・x^4) + …
となります。

> x^4までとはどのように計算して行ったら上のような回答が出るのでしょう？

x^4の項の係数が0になってしまう関数もあるので、
それはそのまま答えればよいと思います。
今回の場合、x - (x^3/3!) + …で十分だと思います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
少し考えたらわかりました。
x^4のところは係数が0なのでそのままでいいのですね。

お礼日時：2010/08/09 20:35

No.1 回答者： noname#117170 回答日時： 2010/08/09 17:47

x^4がないどうしよう。

0=0×x^4ということさえにも気付かんかな。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
少し考えたらわかりました。

お礼日時：2010/08/09 20:34