x,y,z軸方向の単位ベクトルをi,j,kとする。

x,y,z軸方向の単位ベクトルをi,j,kとする。

曲面F上の点の位置ベクトルrが
r=xi+yj+(3-x^2-y^2)ｋ・・・・・・(1)
曲面G上の点の位置ベクトルrが
r=xi+yj+(2x^2+2y^2)ｋ・・・・・・・・(2)

で与えられている。
FとGで囲まれた領域をDとする。
(1)FとGの交線の円筒座標系(r,θ,z)における方程式を求めよ
(2)Dの体積を求めよ
(3)Dの表面積を求めよ

(1)は交線なので、
(2)-(1)から、
(x^2+y^2-1)k=0
より、k=0 ?? x^2+y^2＝1 ??
方向ベクトルが
i -y/x
j = 1
k 0
となるから・・・・・・と考えたりしたんですが
円筒座標系に直すなどのつながりが全く分かりません。

(2)(3)など問題丸投げですいませんが、
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： Anti-Giants 回答日時： 2010/08/09 19:13

(1)

交線は、x^2+y^2=1

x = cos(θ)
y = sin(θ)
z = 2

だから、(r,θ,z) = (1,θ,2)

(2) iint[x^2+y^2≦1]{(3-x^2-y^2)-(2x^2+2y^2)}dxdy

(3) 曲面Fをr1, 曲面Gをr2、とする
上側の面積 iint[x^2+y^2≦1]|∂r1/∂x × ∂r1/∂y|dxy
下側の面積 iint[x^2+y^2≦1]|∂r2/∂x × ∂r2/∂y|dxy

この回答への補足

早い回答ありがとうございます。

交線は、理解しました。
けれど、円筒座標系での
・z=2になるのはなぜか
・θは、θのままでよいのか
・・・・arctan(y/x)などにしないか

などが、まだ分かりません。


また、（2）の重積分は-1≦x≦1 -√1-x^2≦y≦√1-x^2で積分するのか、
それとも、ともに正の範囲で積分するのかが分かりません。（いまいち図のイメージが分からないので、見当もつかない状態です・・・・）

（3）は、
∂r1/∂x=(1,0,-2x)
∂r1/∂y=(0,1,-2y)
から、
｜∂r1/∂x × ∂r1/∂y｜=√4x^2+4y^2+1
という計算で合ってますか??

質問だらけですいません。このへんの分野の参考書が分からなくて、ついていけてないです。
よろしくお願いします。

補足日時：2010/08/09 22:32

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2010/08/10 00:12

(1)

交線だから、位置ベクトルが一致するように
(x_1)i + (y_1)j + { 3-(x_1)^2-(y_1)^2 }k
= (x_2)i + (y_2)j + { 2(x_2)^2+2(y_2)^2 }k
と置いて、
i, j, k が一次独立であることから、
x_1 = x_2,
y_1 = y_2,
3-(x_1)^2-(y_1)^2 = 2(x_2)^2+2(y_2)^2
です。

変形、整理して、
(x_1)^2+(y_1)^2 = 1
となりますね。これを最初の式へ代入して、
(x_1)i + (y_1)j + { 3-(x_1)^2-(y_1)^2 }k
= (x_2)i + (y_2)j + { 2(x_2)^2+2(y_2)^2 }k
= (x_1)i + (y_1)j + 2k
です。

交線の「方程式を」求めるなら、(r,θ,z) = (1,θ,2) よりも
r = 1 かつ z = 2 と書くのが普通でしょう。