ネガティブフィードバック制御(負帰還)の安定限界について

ネガティブフィードバック制御(負帰還)の安定限界について

特にゲインが1で位相が-180°の場合、安定限界(単振動的なふるまい)になるらしいですが
添付図で仮にG=1, H=-1とし、入力R=1を加え続けたとすると、出力Yは(R-C)*Gなので
Y={1-(-0)}*1=1
Y={1-(-1)}*1=2
Y={1-(-2)}*1=3
…
と単振動ではなく発散になってしまう気がします。

フィードバックの考え方自体間違っているのしょうか?
詳しい方いらっしゃいましたら是非ご教授お願いしたいと思います

No.6 ベストアンサー 回答者： xpopo 回答日時： 2010/08/16 17:58

Macchomuさん、安定限界状態で一定振幅の振動を繰り返すためには

更に以下の２つの条件が必要です。
１．　入力信号は加えないこと。
２．　一巡伝達関数はラプラス演算子ｓで表される関数であること
安定限界条件では入力信号に対して出力信号の振幅は無限大になります。
ですから、入力には定常的に信号を与えない状態がまず必要です。
そして、入力に一瞬、何らかのノイズが入力された場合に一定振幅の安定した
振動を繰り返す状態になります。
　では以下にMacchomuさんの計算を確認してみましょう。
まず最初の計算

　Y={1-(-0)}*1=1

まず、最初の等号の後の最初の大括弧の中の入力Rに値（１）が入ってます。
これは上記１．の条件に反します。　R=0　にする必要があります。
そうすると、最初の式は一応、なんらかのノイズ入力により初期値としてC
の値が　-１　になってたと仮定して　C=-1　を使います。

Y={０-(-１)}*1=１

同様に2番目以降の式はこの最初の計算結果のY=1を利用して

Y={０-(-１)}*1=１
Y={０-(-１)}*1=１

となり、出力は安定的に１を維持します。なお、振動しない理由は
一巡伝達関数がｓの関数ではなく、定数のため、固有振動数が
存在しないからです。

Macchomuさん、これでモヤモヤは解決したでしょうか？

この回答へのお礼

非常にわかりやすい説明ありがとうございます。
やっと不明な点が解決できました。

お礼日時：2010/09/01 10:00

No.5 回答者： KEN_2 回答日時： 2010/08/16 00:10

ANo.1 です。

申し訳ありません。暫く留守にしており、返信が遅くなりました。
オペアンプによる増幅回路で『ネガティブフィードバック』の説明サイトを紹介します。
>・・・・入力R=1を加え続けたとすると、出力Yは(R-C)*Gなので
>Y={1-(-0)}*1=1
>Y={1-(-1)}*1=2
>Y={1-(-2)}*1=3
は、適切ではないので(1)その増幅率はほぼ無限大(2)図 2-1に示すように出力信号の一部を反転して(マイナスにする)入力に戻してやる技術です。 を参考にしてください。
なお、参考図ではＣは減衰器で1/10になり入力に戻ってきていますが、減衰器H(S)を零で考えればこの回路の増幅度は1倍となりますので、『オペアンプの周波数特性』の利得が1の場合で
考えてみてください。

オペアンプによる増幅回路
http://wave.iobb.net/doc/opamp/2.html
　

この回答へのお礼

ありがとうございます。参考にさせて頂きます。

お礼日時：2010/09/01 09:58

No.4 回答者： xpopo 回答日時： 2010/08/15 11:07

>>これは負帰還の話ですから、H(s)が-1と仮定する場合は

>>帰還信号Cが入力から減算ではなくて加算される状態に
>>なりますから正帰還状態になってしまいます。
>負帰還の場合で、一巡伝達関数のゲインが1以上で位相が-180°の場合、
>安定限界になると本に書いてあったのですが違うのでしょうか?

そのとおりです。この状態がその「安定限界」状態です。一巡伝達関数
G(s)*H(s)の位相は∠G(s)＝０度　（G(s)＝１より）　そして、∠H(s)＝-180度
（H(s)＝－１より）　ですから、

　∠G(s)*H(s)　＝　０度　＋　（-180度）＝－180度

となっています。

また、一巡伝達関数のゲイン　｜G(s)*H(s)｜は　｜G(s)｜＝１、　｜H(s)|＝１
ですから、

　｜G(s)*H(s)｜　＝　１　×　１　＝１

となっています。この状態では、誤差信号　E　は　入力信号　R　に出力信号　Y
から帰還される帰還信号　C　が加算される（この場合、Y　が加算される）こと
になります。式で表せば、

　E　＝　R（ｓ）　－　C（ｓ）　＝　R（ｓ）　－　（Y＊H（ｓ））　
　　 ＝ R（ｓ）　－　（Y（ｓ）＊（－１））
　 　＝　R（ｓ）　＋　Y（ｓ）

もうお分かりと思いますが、誤差信号が入力信号と出力信号の加算になってます
ので加算した結果の誤差は｜G(s)｜倍（この場合は１倍）されて出力　Y　になります。
結果として出力はどんどん増加して無限大になってしまいます。


>>ですから、出力は分母が0になり、無限大になってしまいます。
>わからないので分母が0になるとは、具体的に式で表して頂けますでしょうか?

出力 Y は　
　　Y ＝ (R -C)*G 　(1)
帰還信号 C は
　　C = Y*H　　　　　 (2)

で表されますから、式(1)、(2)から Y は

　　Y = RG/(1+HG)　　(3)

と求められます。

　ここで、　G=1、　H=-1、R=1
を式（３）に代入すると、

　　Y = 1*1/{1+（-1)*1}

　　　= 1/(1-1) = 1/0

このように分母が０になります。

この回答へのお礼

お忙しい所ご丁寧にご回答ありがとうございます。

>もうお分かりと思いますが、誤差信号が入力信号と出力信号の加算になってます
>ので加算した結果の誤差は｜G(s)｜倍（この場合は１倍）されて出力　Y　になります。
>結果として出力はどんどん増加して無限大になってしまいます。
安定限界の場合『減衰も発散もせず、一定振幅の振動を繰り返す』と認識しているのですが
xpopoさんのおっしゃる無限大(=発散)だと安定限界ではない、のではないでしょうか?

また、個人的に一番わからないのが初めの質問事項に書いてある
>Y={1-(-0)}*1=1
>Y={1-(-1)}*1=2
>Y={1-(-2)}*1=3
>…
のどこが間違っているかです。
この式を正しく訂正して安定限界の状態にして下さると、一気にモヤモヤが解決すると思うのです。

お礼日時：2010/08/16 10:05

No.3 回答者： xpopo 回答日時： 2010/08/13 22:46

これは負帰還の話ですから、H(s)が-1と仮定する場合は

帰還信号Cが入力から減算ではなくて加算される状態に
なりますから正帰還状態になってしまいます。

　ですから、出力は分母が　０　になり、無限大になって
しまいます。

この回答へのお礼

>これは負帰還の話ですから、H(s)が-1と仮定する場合は
>帰還信号Cが入力から減算ではなくて加算される状態に
>なりますから正帰還状態になってしまいます。
負帰還の場合で、一巡伝達関数のゲインが1以上で位相が-180°の場合、
安定限界になると本に書いてあったのですが違うのでしょうか?

>ですから、出力は分母が0になり、無限大になってしまいます。
わからないので分母が0になるとは、具体的に式で表して頂けますでしょうか?

お礼日時：2010/08/14 19:57

No.2 回答者： xpopo 回答日時： 2010/08/13 16:40

計算式が不十分です。

下記内容を参照ください。

出力 Y は　
Y ＝ (R -C)*G (1)
帰還信号 C は
C = Y*H (2)

で表されますから、式(1)、(2)から Y は

Y = RG/(1+HG)　　(3)

と求められます。

　ここで、　G=1、　H=-1、R=1
を式（３）に代入すると、

Y = 1*1/{1+（-1)*1}

　= 1/(1-1) = 1/0

となり Y の値は 分母が０ になってしまい計算できません。
つまり、この状態は発振状態に他なりません。

No.1 回答者： KEN_2 回答日時： 2010/08/12 21:42

>添付図で仮にG=1, H=-1とし、入力R=1を加え続けたとすると、出力Yは(R-C)*Gなので

R=1であれば直流信号で変化しないですよね？
Rは交流ですからω（2πf）で変化して、Rと-Cが釣り合うのではないでしょうか。
　

この回答へのお礼

いくつかわからないのですが
>Rは交流ですから
直流信号は入力不可能ということでしょうか?
>Rと-Cが釣り合うのではないでしょうか。
私が書いたようにY = R(=1) - C(=-1) = 2で増加しないのですか?

お礼日時：2010/08/13 09:21