x,y,z>0 実数で、x^3+xy^2+yz^2>=kxyz が成り

x,y,z>0 実数で、x^3+xy^2+yz^2>=kxyz が成り立つとき
kの値の取り得る範囲を求めよ。

つぎのように考えましたが、添削をお願いします。
両辺をxyzで割ると
(x/y)*(x/z)+y/z+z/x>=k ...(1)
y/x=s,z/y=t,x/z=rとおくと
str=1, (1)は、1/(s^2*t)+1/t+st>=k
左辺＝aと置いて、分母をはらい、tについての方程式とみると
s^3*t^2-a*s^2*t+1+s^2=0
これが、実数解をもつから、軸>0より
判別式＞＝０を計算すると
a^2>=4(1+s^2)/s これより、
a^2>=6,よって、√６<=a
よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2010/08/18 15:58

軸>0 という条件が、t>0 であるという解の分離に効いている

ことを示すためには、とても舌足らずで問題もあるけれど、
質問文の書き方がまだしも better かと思います。
No.3 のように書いてしまうと、解がある⇔判別式と短絡した
ように受け取られてしまう可能性があるし、
軸>0 の使い道が、k^2≧8 から k≧2√2 を計算するため
だったと誤解される可能性も大きい。
それでは、二次方程式が t>0 の範囲に解を持つという条件を
正しく処理したことになりません。
解ってはいるんだろうけれど、論理の進め方が見えるように
書かないと。

(1),(2) から k≧2√2 と進めた…という指摘については、
質問文の解法では、(1)∧(2) ⇒ k≧2√2 としているのではなく、
(∀s,(1))∧(2) ⇔ k≧2√2 としているのだという
論理の流れが見えていれば、いやな気分にならずに済みます。
その為には、(2) の等号を成立させる s が存在すること
が重要なので、No.2 の末行にある通りですね。

相加相乗平均の使用については、使うと労力が省けますが、
それが本質的な部分ではありません。
a^2 ≧ 4(1+s^2)/s を満たす s が在るように a の範囲を決める
という本筋が見えていれば、4(1+s^2)/s の値域を求めればよい
ことが解るはずです。
そのためには、d(a^2)/ds を計算して増減表を書くのも一法です。

この回答へのお礼

いろいろ考えてもらいありがとうございます。
ｋの値の範囲をｋ＞＝２√２と書きましたが、（計算間違いで√６＜＝ｋとしたが）
ａ＞＝２√２　だから、ｋ＜＝２√２とすべきだったのではと思うのですが。
よろしくお願いします。

お礼日時：2010/08/18 18:19

No.8 回答者： OKXavier 回答日時： 2010/08/20 07:25

ANo.3です。

やはりとんでもないミスしてました。
大変失礼しました。

a>=k
a>=2√2

aの最小値が2√2ですから、k<=2√2　とすべきでした。
ここに問題点があったようですね。

No.7 回答者： OKXavier 回答日時： 2010/08/19 18:22

ANo.3です。

すみません。事情で反応できませんでした。
>判別式＞＝０となる理由はどうしてでしょうか。
>これがいえれば、すっきりした解答でいいと思います。
ミスです。申し訳ありません。いえませんよね。

で、場合分けしてみたのですが‥。
(1)D<0のとき、k^2<4x/y+4y/x　の場合は、4x/y+4y/x　の最大値が
ありませんから、kはすべての実数。
(2)D>=0のとき、k^2>=8 かつ　k>0　なので、k>=2√2。
結局、kはすべての実数となるのではないでしょうか？


論理：
a≧k　　‥‥(1)
a≧2√2　‥‥(2)

この場合も、aに最大値はありませんから、kはすべての実数と
なるように思いますが。
問題；x,y,z>0 実数で、x^3+xy^2+yz^2>=kxyz　が成り立つとき、kの値
　　　のとり得る範囲
で、k<=0は問題なく含まれますよね。
とんでもない勘違いをしていて、間違っていたらごめんなさい。

No.6 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/08/18 19:04

#5です。

はじめの式から ≧ k・xyzだったんですね。。。
これは失礼しました。

「kのとり得る範囲」とあったので、てっきり等号だと思い込んでいました。
きちんと読まないとダメですね。＞＜

No.5 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/08/18 16:27

#2です。

ちょっと気にかかったところもあった（思い出した）ので、コメントを。

＞判別式＞＝０となる理由はどうしてでしょうか。
について、以下に少し長くなりますが。

＞(x/y)*(x/z)+y/z+z/x>=k ...(1)
この式は不等号ではなく、等号ですよね。
ですから、#3さんの書かれている
z^2-kxz+x^3/y+xy≧0

も不等号ではなく、等号でないといけませんよね。

2次方程式の解として考えなければならないことは、
・実数解をもつこと
・その実数解が正であること（x＞ 0, y＞ 0, z＞ 0の条件より）

であり、放物線のグラフを考えると、
・軸＞ 0であることが言えれば、
・最小値（頂点の y座標）≦ 0であること（これは、判別式：D≧ 0であることと同値）

と言い換えられることになりますね。
これは、#1（#4）さんも言われているように、もともと質問文で書かれていた表現がわかりやすいと思います。


#2の回答で、yは xの何倍・・・と書きましたが、
これは、もとの式がすべて 文字の 3次の項となっており、kはそれら比のみで表されているということが背景にあります。
つまり、kの値は x, y, zの「比」だけで求まっているということです。

こういうことを頭に入れておくと、y＝ pxなどという比で与えるのが便利だということに気づくようになります。
文字も 1つ減らせますからね。＾＾

この回答へのお礼

#3さんの書かれている
z^2-kxz+x^3/y+xy≧0
も不等号ではなく、等号でないといけませんよね
この部分ですけれど、たぶんですが、流れからして
不等号なのでないかと思います。だから不等号の時は、
判別式＞＝０とはもっていけないと思うのですが・・・。
ありがとうございます。

お礼日時：2010/08/18 18:24

No.3 回答者： OKXavier 回答日時： 2010/08/18 13:16

#1,#2さんの指摘以外で、

論理の進め方でどうかなと思う箇所があります。

a≧k　　‥‥(1)
a≧2√2　‥‥(2)

(1),(2)から、k≧2√2
と進めるのは、ちょっといやな気分ですね。


もう一点。
>これが、実数解をもつから、軸>0より
ここはダメ、２つの条件を分けて、
この「軸が正」の条件の使いどころをはっきり示した方が良い。


判別式を使うならそのままで次のようにできる。
z^2-kxz+x^3/y+xy≧0
として、
x^3/y+xy>0　‥(1)
D=(kx)^2-4(x^3/y+xy)≧0‥(2)
(2)より、
k^2≧4x/y+4y/x≧8
(1)より軸は正なので、
k≧2√2(等号はx=yのとき）

この回答への補足

添削ありがとうございます。
ご指摘で次の点を教えてもらえるとありがたいです。
z^2-kxz+x^3/y+xy≧0　で
判別式＞＝０となる理由はどうしてでしょうか。
これがいえれば、すっきりした解答でいいと思います。
よろしくおねがいします。

補足日時：2010/08/18 15:14

この回答へのお礼

添削ありがとうございます。
ご指摘で次の点を教えてもらえるとありがたいです。
z^2-kxz+x^3/y+xy≧0　で
判別式＞＝０となる理由はどうしてでしょうか。
これがいえれば、すっきりした解答でいいと思います。
よろしくおねがいします。

お礼日時：2010/08/18 14:15

No.2 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/08/18 11:28

こんにちわ。

やはり、最後のところ
＞a^2>=4(1+s^2)/s これより、
＞a^2>=6,よって、√６<=a

ここがきちんと説明されないといけませんね。
#1さんも書かれているように、相加・相乗平均の関係を用いるべきだと思います。

s, t, rとおくところですが、もうちょっと「意図」をわかりやすくするのであれば
p＝ y/x, q＝ z/x（yは xの p倍、zは xの q倍）

と置いた方がすっきりするかもしれません。
もちろん、得られる不等式は同じになります。

最後に、最小値となる kの値を与える x, y, zの値を求めておいた方がよいですね。
（ちゃんと、これらのときにこの最小値になりますよ。という証拠として）
これを述べるときに、p, qと置いたことが役に立ってきます。

この回答へのお礼

最小値となる kの値を与える x, y, zの値を求めておいた方がよい。
とのご指摘ありがとうございます。
３次方程式の解と係数のことが、頭にちらついて、しかも、かけると　ｓ*ｔ*ｒ=1となるので
そうしましたが、p＝ y/x, q＝ z/x（yは xの p倍、zは xの q倍）とおくほうが、いいです。
勉強になりました。
ありがとうございました。

お礼日時：2010/08/18 12:37

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2010/08/18 10:32

方針は良いと思う。

特に、
＞　軸>0より
に言及したことは、大変良い。
これは、よく書き忘れて減点を喰らう。

最後の所で
＞　これより、a^2>=6
とした理由が、よく解らない。

a^2 ≧ 4(1+s^2)/s　が成立するような
s が存在するように 、a の範囲を定める
ということなら、

相加相乗平均の関係を使えば、
a^2 ≧ 4(1+s^2)/s = 8・(1/s + s)/2 ≧ 8・√{(1/s)・s} = 8
じゃないだろうか。

あと、蛇足だが、
k をワザワザ a で置き換える必要はない。
無駄に文字が増える。

この回答へのお礼

添削ありがとうございます。
方針は良いとのご指摘でよかったと思います。
a^2>=8でした。相加相乗でなく、微分してグラフから求めてしまいましたが、
やはり、ここは相加相乗を使うべきでしたが、気づきませんでした。

お礼日時：2010/08/18 12:25