高1 (a+b)の5乗×(a+b+2)の4乗 を展開したときのaの4乗

高1 (a+b)の5乗×(a+b+2)の4乗 を展開したときのaの4乗×bの3乗の項の係数をもとめるんですが、答えは840です。やり方がよくわかりません、教えてください!!

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2010/08/26 23:49

(a+b)の5乗×(a+b+2)の4乗 を展開するには、

(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b+2)(a+b+2)(a+b+2)(a+b+2) の
各 ( ) の中からそれぞれ１個づつ項を選んで掛け合わせたもの
を総和します。
そのとき、aの4乗×bの3乗 の項は、9 個ある ( ) の中から、
a を 4 個、b を 3 個、2 を 2 個 選らんだ積に対応しています。
そのような選び出し方は、2 の選び方が 4Ｃ2 通り、
a の選び方が (9-2)Ｃ4 通り、b の選び方が残りの 1 通りで、
都合、4Ｃ2×7Ｃ4 個あります。
aの4乗×bの3乗×2の2乗 が 4Ｃ2×7Ｃ4 個あるのですから、
総和すると、(2の2乗)(4Ｃ2)(7Ｃ4)(aの4乗)(bの3乗) という項
になって現われます。
係数は、(2×2)(4×3/2×1)(7×6×5×4/4×3×2×1) = 840 です。

No.4 回答者： info22_ 回答日時： 2010/08/25 18:11

{(a+b)^5}(a+b+2)^4

={(a+b)^5}{(a+b)^4+4*2(a+b)^3+6(2^2)(a+b)^2+4(2^3)(a+b)+2^4}
={(a+b)^9+8(a+b)^8+24(a+b)^7+32(a+b)^6+16(a+b)^5
(a^4)×b^3の項は、べき指数の和が7なので、a,bについて7次の項である。

上式でa,bについて7次の項は「24(a+b)^7」の項だけなので、他の項は考える必要はない。

24(a+b)^7の展開項で「(a^4)×b^3の項」の係数は
2項定理より
24(7C4)=24*7!/(4!3!)=24*35=840
と求まります。

もし組合せ(7C4=7!/(4!3!))=35を習っていないなら(a+b)を7回掛け合わせて見てください。
またはパスカルの三角形の作り方を覚えておけばすぐ係数35がすぐ分かります。
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/pascal/pa …

No.3 回答者： OKXavier 回答日時： 2010/08/25 17:45

一般的なやり方でやってみると

(5!/(p!q!))a^p×b^q
ただし、p+q=5　　‥‥(1)

(a+b+2)^4　の一般項は、
(4!/(u!v!w!))a^ub^v2^w
ただし、u+v+w=4　　‥‥(2)

これらの積をつくると、
(5!4!/(p!q!u!v!w!))a^(p+u)b^(q+v)2^w　　‥‥(3)

求めるのは、a^4b^3の項の係数だから、
p+u=4　　‥‥(4)
q+v=3　　‥‥(5)

(4)＋(5)から、p+q+u+v=7　　‥‥(6)
(1)を代入して、　u+v=2　　‥‥(7)

(2)から、4-w=u+v　　‥‥(8)

(7)(8)から、4-w=2　これより、w=2

ところで、(7)から、0≦u≦2
uで場合分けすると、

u=0（v=2）のとき、p=4,q=1なので、係数は、5!2!/((4!1!)(0!2!))×4C2×2^2=120
u=1（v=1）のとき、p=3,q=2なので、係数は、5!2!/((3!2!)(1!1!))×4C2×2^2=480
u=2（v=0）のとき、p=2,q=3なので、係数は、5!2!/((2!3!)(2!0!))×4C2×2^2=240

したがって、a^4b^3の係数は、
120+480+240=840
となります。

No.2 回答者： koko_u_u 回答日時： 2010/08/25 17:23

>やり方がよくわかりません

展開すればいいじゃない。
これが (a+b)の 100乗とかになった時に別の方法を模索するべきです。

No.1 回答者： -ok 回答日時： 2010/08/25 17:11

(a+b)^5×(a+b+2)^4 を a+b を一つのものとして展開したとき、a^4×b^3 の項は (a+b)^7 の項にしか現れません。

その７乗の内、(a+b)^5 が５乗分を寄与しますから、(a+b+2)^4 は２乗分を寄与します。
後者を展開したとき (a+b)^2 の係数は 4C2×2^2 = 24。
また (a+b)^7 を展開したとき a^4×b^3 の係数は 7C4 = 35。
よって求める係数は 24×35 = 840。