面積の演算

面積の演算

面積についてふと疑問に思ってしまって、どうしてよいのか分からなかったので質問します。
考えていることがうまく伝わるかどうか分からないのですが、何か教えてもらえればと思います。

まず、面積の計算と言うのは、四角形を考えて、高さがa,幅がbなら、a×bとして教わりますよね。
そもそもこの計算の意味するところが何なのかということがよく分からなくなってしまいました。

なぜこんなことを考え始めたかというと、ピタゴラスの定理a^2 + b^2 = c^2を導くときに添付した図のように、辺の長さがa,b,cの直角三角形を考えて、その一番長い辺にあわせて正方形を書き、そのまわりに同じ直角三角形を並べるようにすると、大きな正方形ができて、
大きな正方形の一辺の長さはa+bなので全体の面積は(a+b)^2となり、直角三角形や内側の正方形の面積を別々に計算して面積を出すとc^2 + 2abとなります。
それらを方程式にして
(a + b)^2 = c^2 + 2ab
とすると、a^2 + b^2 = c^2
が得られます。

でもこのとき、これらの二つの式を"="で結んでいいのは、「面積が同じだから」ということだと思います。でも、この「面積が同じ」というのは、「見た目が同じ」だから同じでよいということを言っていると思いますが、それは面積を出す式で表現された結果が同じであるということは直接は結びつかないと思います。
これらの式がそれらの性質を持つように作られているというとは、なんとなく分かるのですが、どうしてそのような性質を持つ定義にできているのかがよく分からないというかなんというか・・・。
意味が、伝わるでしょうか。

図形から得られる、「面積」というものの定義の性質を考えると、このような計算が可能である、ということでいいのでしょうか？

面積を小学生の時に習ったときから、どういう意味なのかというのをずっと考えて、当時は小さい線がたくさん集まるということなのか、とか考えたりしました。
積分を習ったときに、なんとなく自分が考えていたことがそれほど間違いではなかったような気はしたのですが、いまだに、この、面積というものの正体がはっきりつかめません。

私自身どのように説明していいのか分からない部分もあり、何を言っているのかわからないかもしれませんが、よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： f272 回答日時： 2010/08/28 17:53

なかなか難しい点に注目していますね。

どのような平面図形にも面積はあるか（矛盾なく定義できるか）ですが，これは難しい問題です。だから逆に考えて，すべての図形に面積を定義するなどという大それたことはいったん考えずに，矛盾なく面積が定義できるのはどういうときかを考えましょう。
面積に対する直感から
　合同な図形は面積が等しいこと
　多角形を２つの多角形に分割すると，元の面積は，分割して得られる２つの多角形の面積の和になること
を満足しなければならないということは認めてください。
そして
(1)長方形には面積が定義され，それは2辺の長さの積である。
(2) 開集合の面積は，それに含まれる互いに交わらない長方形の集合についての長方形の面積の和の上限である。
(3) 閉集合の面積は，それを含む内部を持つ長方形の和集合についての，長方形の面積の和の下限である。
(4) 図形Fが，面積が定義できている可算個の集合の直和（交わりを持たない和集合）ならば，図形Fの面積は定義され，可算個の集合の面積の和である。
こんな風に定義していくと，我々の直感に反しない面積が定義出来ていることになります。まあ，これを確認するだけでも大変ですが...
これ以外の図形に対しても面積をどのように定義すればよいのかは，また，発展問題として研究してください。

この回答へのお礼

とてもわかりやすい説明ありがとうございます。

こういった定義が必要であったり、こういう考え方があるということがあるということなんですね。

小学生の時から、なんとなくそういうものだとして教わってしまって、それを元にいろいろなものを習っていますが、よくよく考えると、面積に関ししては、結構その「そういうものだ」感の強い概念や計算方法なのかなと思いました。

ちょっと面白い勉強テーマが見つかった気がします。

その辺の面積を質問にあったように計算してよいのかどうか、という疑問を感覚が決しておかしなものでないということが分かったので、本当によかったです。

ありがとうございました。

お礼日時：2010/08/28 19:54

No.4 回答者： noname#152421 回答日時： 2010/08/29 01:16

たぶん、お考えのことは、不変測度を暗に意識されているのだと思います。

> これらの二つの式を"="で結んでいいのは、「面積が同じだから」ということだと思います。

とありますが、実は「面積が同じだから」ではないのです。

平面上に配置されたある図形について、平行移動や回転をほどこしても面積は変わりませんね？

それは、「面積が同じだから」ではなくて、その面積の決め方である測度が、平行移動や回転が生成する変換群上の不変測度になっているからなんです。

4つの三角形と小さい四角形の面積の和が大きい四角形の面積の和に等しいというのは、面積が加法性をもっているからです。


> 四角形を考えて、高さがa,幅がbなら、a×b

これは、上記のこととあといくつかのことを公理と考えると一種の正規化を行っているだけと捉えることができます。

つまり、どれか基準になる図形（たとえば大きい四角形）の面積の値を定義してしまえば決まってしまいます。


もちろん、不変測度であることを前提としなくても、

> 四角形を考えて、高さがa,幅がbなら、a×b

を公理の一つとして測度を構築し、結果的にそれは不変測度の例になると考えてもいいです。

この回答へのお礼

お礼が遅くなりました。
なんとなくどういうことなのかイメージが付いてきたと思います。

不変測度というのも勉強してみようと思います。

ありがとうございました。

お礼日時：2010/09/10 23:17

No.2 回答者： tokiwa-sanroku 回答日時： 2010/08/28 17:21

質問の主旨から外れますが、面積の求め方にはほかにも

座標、ヘロン、放射法などもあります。
地積測量図など公的な図面でも三斜から座標法に移行してます。

この回答へのお礼

面積の求め方というのも、基本的には一つの面積の定義にしたがって出されているわけですよね、きっと。

そういった面積の求め方について勉強するのも、今回の疑問に答える一つの道になるかもしれないです。
ちょっと調べてみます。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2010/08/28 19:42

No.1 回答者： aokii 回答日時： 2010/08/28 16:50

面積に限らず数学は全て人間が決めた便利な道具です。

数学は理屈ではなく定義です。
体積とは大きさを表すために人間が考えた便利な言葉です。
面積とは広さを表すために人間が考えた便利な言葉です。
距離とは長さを表すために人間が考えた便利な言葉です。
点とは位置を表すために人間が考えた便利な言葉です。

点を集めて線ができ、線を集めて面積ができ、面積を集めて体積ができるという人がいますが、それは嘘です。

有限の点を集めても線はできません。無限の点は集められません。

この回答へのお礼

なるほど、定義上そういう風になっているということなんですね。
そういう風に定義したっけかとして、四角形の場合a×bという形になるということなんでしょうか。
その辺の定義は、やっぱりしっかり自分で勉強していく必要がありそうです。

今考えると、小学生に結構難しいこと教えるんだなぁと感じますね。

ありがとうございました。

お礼日時：2010/08/28 19:40