f(x,y)=xe^(xy+2y^2)の第1次及び第2次の偏導関数を求

f(x,y)=xe^(xy+2y^2)の第1次及び第2次の偏導関数を求める問題で解答はfx=(1+xy)e^(xy+2y^2),fy=x(x+4y)e^(xy+2y^2),fxx=(2y+xy^2)e^(xy+2y^2), fxy={x+(1+xy)(x+4y)}e^(xy+2y^2),fyy={4x+x(x+4y)^2}e^(xy+2y^2)でそれぞれどのようにして微分されているのかを詳しく教えてください

fxxから本当に分からないので教えてください

回答よろしくお願いします

No.1 ベストアンサー 回答者： -ok 回答日時： 2010/08/30 16:05

積の微分の公式　(uv)’=u’v + uv’ を繰り返し使います。

E=e^(xy+2y^2)
とおくと
f=xE
Ex=yE
Ey=(x+4y)E

fx
=E+xEx
=(1+xy)E

fxx
=yE+(1+xy)Ex
=yE+(1+xy)yE
=y(2+xy)E

fxy
=xE+(1+xy)Ey
=xE+(1+xy)(x+4y)E
={x+(1+xy)(x+4y)}E

fy
=xEy
=x(x+4y)E

fyy
=x・4・E+x(x+4y)Ey
=4xE+x(x+4y)^2E
=x{4+(x+4y)^2}E

この回答への補足

回答ありがとうございます

fyyのx・4・Eの部分の4ってどうやって出たのですか？

教えてください

補足日時：2010/08/30 16:45

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2010/08/30 18:58

基本は

積の微分公式を使用すること
と
微分する変数だけで微分すること（偏微分のこと）
です。

fyyの場合であれば以下の通り計算すれば良い。

fy=∂xe^(xy+2y^2)/∂y=x∂e^(xy+2y^2)/∂y=x{e^(xy+2y^2)}∂(xy+2y^2)/∂y
=x{e^(xy+2y^2)}∂(xy+2y^2)/∂y
=x{e^(xy+2y^2)}(x+4y)
=(x^2+4xy)e^(xy+2y^2)
fyy=∂(fy)/∂y=(∂(x^2+4xy)/∂y)e^(xy+2y^2)+(x^2+4xy)∂(e^(xy+2y^2))/∂y
=4xe^(xy+2y^2)+(x^2+4xy)(e^(xy+2y^2))∂(xy+2y^2)/∂y
=4xe^(xy+2y^2)+(x^2+4xy)(e^(xy+2y^2))(x+4y)
={4x+(x^2+4xy)(x+4y)}e^(xy+2y^2)
=x{4+(x+4y)^2}e^(xy+2y^2)

No.2 回答者： Knotopolog 回答日時： 2010/08/30 17:42

割り込みで，失礼します．

＞＞fyyのx・4・Eの部分の4ってどうやって出たのですか？

fy＝x(x＋4y)E，　　　　　E＝e^(xy＋2y^2)

を y で偏微分すると，（偏微分を　’で書きます）

fyy＝x(x＋4y)'E＋x(x＋4y)E'

fyy＝x・4・E＋x(x＋4y)E'

となり，x・4・E　が現れます．つまり，x(x＋4y)E　の
(x＋4y)　を y で偏微分すると，4　なので，x(x＋4y)'E が　x・4・E　なります．

この回答への補足

回答ありがとうございます

わかりやすい説明をありがとうございます

また違う場所を質問してしまうのですが

fxx
=yE+(1+xy)Ex
=yE+(1+xy)yE
=y(2+xy)E

fxy
=xE+(1+xy)Ey
=xE+(1+xy)(x+4y)E
={x+(1+xy)(x+4y)}E

の部分のfxxのyEはどこから出てきたのか教えてください。また、fxyのxEも教えてください。

よろしくお願いします

補足日時：2010/08/30 18:05