粒子加速器内での電子の相対速度

粒子加速器内での電子の相対速度

巨大な粒子加速器では電子を光速の９０数％まで
加速し衝突させると聞きますが、右まわり、左回り
ともに光速の９０数％まで加速したら右まわり電子
Ａと、左回り電子Ｂ同士の相対速度は光速を超え
てしまわないのですか？（相対性理論に反すると
は思いつつ．．．）

仮に二階建ての円形加速器があったとして、１階の
電子Ａが右回りに光速の９０数％、２階の電子Ｂが
左回りに光速の９０数％で回っていたら、電子ＡとＢ
の相対速度はどう考えればいいのか？という疑問か
ら発想したのですが上記の１つの加速器内での粒子
同士の相対速度と２階建てでは異なるでしょうか？

二階建ての場合は単に「電子ＡＢのすれ違い速度」と
言えるかもしれませんが、同じ階の中で衝突すると
なると１階と二階を重ねただけなので電子ＡＢが等速
ならＡＢ間相対速度は倍速では？．．．
　

補足

１階建ても２階建ても地上に固定された円形加速器（円
周３０ｋｍ位）の電子の進行円周上の一点に対し右回り
の電子Ａの速度、左回りの電子Ｂの速度（但し周回運動
なので角速度）だと想定。（これが間違いかな～？）

実際には衝突確率を上げるため複数粒子で行うこと、速
度測定を加速器の磁場の変化で計っていることは以前の
質問へのご回答から承知しています）

またこの速度では相対論効果で粒子の質量増加、加速
器と粒子同士の相対時間が周期的に変化すると思われ
ます。

No.2 ベストアンサー 回答者： heboiboro 回答日時： 2010/09/04 00:55

お礼欄でされた追加質問についてですが、正直自分には質問がよく分からないです。

速さvの粒子が持つエネルギーは mc^2/√(1-v^2)です。このうち加速器から与えられたエネルギーは、これから静止エネルギーを引いたmc^2であると考えられます。
衝突に関与するエネルギーはこれを二つの粒子について足したものでしょう。どこが疑問なのか明確にしていただけたら答えられるかもしれません。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。

mc^2/√(1-v^2)　ではなく

mc^2/√1-v^2/c^2ではないかと．．．

電子ABの質量を共にｍとし、電子ABの速度
がそれぞれ0.9cまで加速されたとき、右用加速
器、左用加速器がそれぞれ電子ABに与えた
エネルギーは共にmc^2/√1-0.9c^2/c＾2

よって左右の総供給エネルギーは
２mc^2/√1-0.9c^2/c＾2でよいでしょうか？

またE=mc^2/√1-v^2/c^2は電子AB間のエネル
ギーにも適用できるはずですよね。

ただ電子AB間の相対速度Vabが判っていない。

そこで、電子AB間の相対速度Vabをそれぞれの
加速器からみた相対速度Va=Vb=0.9Cなら

Vab＝(Va+Vb）/1+VaVb/c^2

から1.8c/1-0.81c/c^2としてしまってよいでしょう
か？（つまりVa+Vbが接近速度になっているので
間違いの気がするのですが．．．？）

この相対速度の答えが0.9cとなればAB間のエネ
ルギーも２mc^2/√1-0.9c^2/c2となりエネルギー
収支が一致するのかな？ と思ったのですが、そ
ういうことではないのででしょうか？

何か勘違いしているのでしょうね？

お礼日時：2010/09/04 12:30

No.1 回答者： heboiboro 回答日時： 2010/09/01 19:48

ふつう、相対性理論で「相対速度」と言うと、二つの運動物体のうちある片一方の立場から観測したときのもう片方の速度のことを指します。

この場合で言えば、粒子A(と等速で動く観測者)から見た粒子Bの速度、ということです。
ローレンツ収縮等がなんのやのと関わって、実はこれは二つの粒子の速度の単純な和にはなりません。
導出は省きますが、相対速度 u = (v_A+v_B)/(1+v_A・v_B/c^2) となります。
これはv_Aとv_Bにc以下のどんな値を入れてもc以下にしかなりません。


一方で、静止系から見た粒子Aと粒子Bの距離の減少速度は、粒子Aの速さと粒子Bの速さの単純な和になり、これは確かに光速を越えます。これを接近速度と言ったりもします。
しかし実は相対性理論では、接近速度が光速を越えることは否定していません。というのは、静止系からは実際に何かが光速を超えて動いているのを見るわけではないからです。
(接近速度は二物体間の距離の減少率に過ぎない)

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。

接近速度の概念、よく判りました。

よければいまひとつ教えて下さい。

この場合のエネルギー収支です。

電子Ａ、Ｂの運動エネルギー供給源は加速器
です。
右回り用加速器、右回り用加速器がそれぞれ
電子Ａ、Ｂをそれぞれの加速器に対し0.9Cまで
加速しその速度に達したたデータを磁気極性の
周期変化から観測しています。（それぞれの加
速器は同じ系で静止関係にありますがエネルギ
ー供給源は左右回り用の２系統あります。　）

ニュートン力学系では　それぞれの運動エネル
ギーをEr,Elとすると衝突時のエネルギーは接近
方向ですからEr＋El（絶対値）ですよね。　これは
２系統の加速器が供給したエネルギーに一致す
るはずです。（摩擦などの損失は無いとして）

相対論効果で、電子Ａ、Ｂが衝突するときの２系
統の加速器が供給したエネルギーと衝突時のエ
ネルギー収支はどうなるのですか？
接近速度分のエネルギーでないなら収支が合わ
ない気がするのですが．．．

また、加速器に対しＡＢの速度はそれぞれ0.9Cと
なっています。

このとき相対論効果での質量増分もあくまで加速
器に対する質量増加でＡＢの衝突エネルギーには
関与しないのですか？（Ａに対しＢの質量増分は
どう見ればよいですか？）

難解な説明のサイトが多く、苦慮しています。

お礼日時：2010/09/02 09:11