数Iの2次関数の決定の問題を教えてください。
f(x)=ax^-4ax+b (0≦x≦3)の最大値が3、最小値が1であるとき、定数a,bの値を求めなさい
解説 f(x)=ax^-4ax+b=a(x-2)^+b-4a
よって、y=f(x)のグラフの軸の方程式はx=2 頂点は(2,b-4a)
i) a>0のとき
f(x)はx=0で最大値をとり、x=2で最小値をとる
よってf(0)=b=3
f(2)=b-4a=1より a=1/2(※二分の一) b=3
ii) a<0のとき
f(x)はx=0で最小値をとり、x=2で最大値をとる
よってf(0)=b=1 f(2)=b-4a=3より a=1/2 b=1
解説のiのこの部分の求め方がわかりません。
よってf(0)=b=3 f(2)=b-4a=1より
↑↑
これはどの式に何を代入したら求められるのでしょうか。
教えてください、よろしくお願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
お礼読みました。
>これは、最小値の0はx軸2から2メモリ離れている。最大値の3はx軸2から1メモリ離れている。ゆえに、0の時が最大値になる・・・・こんな解釈で良いのでしょうか。
そういうことです。
解答にあるa,bの値を入れて,グラフを描いてみると分かりやすいと思います。
数学的には,2次関数は放物線で軸に対して左右対称である,と言うのが根拠です。
イメージ的にはまさにそのとおりで,定義域に頂点が含まれるときは,頂点から左右にどっちがどれだけ離れているか?(上の例だと,左が2つで右が1つ)です。
もちろん,頂点が含まれているときの最大値・最小値のどちらか1個は,頂点だけ見ればOKです。
例:f(x)=-4x^2なら上に凸なので定義域-6≦x≦7のときの最大値 → 何も考えずに^^;最大値0
なお,定義域に頂点が入っていないときは,ある意味では一次関数(右上がりか右下がりか)ですね。(例:f(x)=x^2 定義域 2≦x≦4 →要するに4のとき最大)
1次の項が単純なもの(頂点が整数の座標になるような)で,グラフを描きながら最大値・最小値を求める練習をしてみてください。
関数の決定より前のところで,最大値・最小値が不安定かな?と思いますので。
> なお,定義域に頂点が入っていないときは,ある意味では一次関数(右上がりか右下がりか)ですね。
> (例:f(x)=x^2 定義域 2≦x≦4 →要するに4のとき最大)
> 1次の項が単純なもの(頂点が整数の座標になるような)でグラフを描きながら最大値・最小値を求める> 練習をしてみてください。
> 関数の決定より前のところで,最大値・最小値が不安定かな?と思いますので。
ありがとうございました。
弱点の勉強ポイントまで教えていただいて感謝します。
y=ax^のグラフの軸はy軸(x=0)頂点は(0,0)のような問題ですよね?
具体的に頭の中でイメージできなくて、意味が理解できないまま、まるごと暗記してましたが、アドバイスのように1次のグラフを描きながら最大値・最小値を求める練習をやってみます!
No.3
- 回答日時:
f(x)=ax^2-4ax+b=a(x-2)^2+b-4a
だから
f(0)=a*0^2-4a*0+b=b
f(2)=a(2-2)^2+b-4a=b-4a
f(3)=a(3-2)^2+b-4a=b-3a
i)a>0のとき
f(x)は,下に凸のグラフだから頂点x=2で最小値1をとり
左端x=0又は右端x=3のどちらかで最大値3をとるが
f(0)-f(3)=b-(b-3a)=3a>0→f(0)>f(3)だから
f(x)はx=0で最大値3をとる
よってf(0)=a*0^2-4a*0+b=b=3(最大値)
f(2)=a(2-2)^2+b-4a=b-4a=1(最小値)
よりa=1/2,b=3
ii)a<0のとき
f(x)は,上に凸のグラフだから頂点x=2で最大値3をとり
左端x=0又は右端x=3のどちらかで最小値1をとるが
f(0)-f(3)=b-(b-3a)=3a<0→f(0)<f(3)だから
f(x)はx=0で最小値1をとる
よってf(0)=a*0^2-4a*0+b=b=1(最小値)
f(2)=a(2-2)^2+b-4a=b-4a=3(最大値)
よりa=-1/2,b=1
No.1
- 回答日時:
たぶんi)の不等号はa≧0だと思います。
0を含まないとa=0を代入できないので。で,質問のf(0)というのは,a≧0なら下に凸(上に開く)になるので,
x=0で最大
→「f(x)=ax^-4ax+b (0≦x≦3)の最大値が3」(問題文)
→これにa=0を代入すると
0×x^2 - 4×0×x +b =b (xの項は消えるのでbしか残らない)
→f(0)=b
問題に書いてあるように「f(x)=ax^-4ax+b (0≦x≦3)の最大値が3」なのでこれは
→f(0)=3
ですね。
わかりやすい解説ありがとうございました。
すみません、もう一つ質問があるのですが、
教えていただいた解説にあるとおり(テキストにも載ってました)
> で,質問のf(0)というのは,a≧0なら下に凸(上に開く)になるので,
> x=0で最大
この説明のx=0で最大ということですが、これは、x軸が2なので、(0≦x≦3)この領域のなかで
最小値の0の時が最大になるというのがいまいちよく分かりません。
これは、最小値の0はx軸2から2メモリ離れている。最大値の3はx軸2から1メモリ離れている。ゆえに、0の時が最大値になる・・・・こんな解釈で良いのでしょうか。
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