x^2-3xy+ay^2+x+6y+b=(x+y-x)(x-by+e)

x^2-3xy+ay^2+x+6y+b=(x+y-x)(x-by+e) が、x,y の恒等式であるとき、a,b,c,d の値の求め方。

この問題において、右辺を展開して

x^2-3xy+ay^2+x+6y+b=x^2+(1-d)xy-dy^2+(-c+e)x+(cd+e)u-ce

とここまで求めました。

この先の求め方がイマイチよく分らないので解説をお願いしたいです。
よろしくお願いします

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2010/09/13 00:17

ヒントの前半は、No.3 でよいのだけれど、答案の最後に、

「この a,b,c,d,e を問題の式へ代入して展開整理すると、
両辺の多項式は確かに一致している。」という呪文を
書いておくのを忘れてはいけない。
たとえ、実際には代入展開をやってみなかったとしても。
というのは、代入から係数の値を求めた計算は、
必要条件でしかないからだ。
上記の呪文を書いておけば、十分性を確認したという
アリバイになる。

No.3 回答者： muturajcp 回答日時： 2010/09/12 13:37

x^2-3xy+ay^2+x+6y+b=(x+y-c)(x-dy+e)

x^2-3xy+ay^2+x+6y+b=x^2+(1-d)xy-dy^2+(-c+e)x+(cd+e)y-ce
(d-4)xy+(a+d)y^2+(1+c-e)x+(6-cd-e)y+b-ce=0
x=0,y=0のとき恒等式が成り立つから
b=-ce
(d-4)xy+(a+d)y^2+(1+c-e)x+(6-cd-e)y=0
x=1,y=0のとき恒等式が成り立つから
1+c-e=0
e=c+1
(d-4)xy+(a+d)y^2+(5-cd-c)y=0
y≠0のとき恒等式が成り立つから
(d-4)x+(a+d)y+5-cd-c=0
x=0,y=0のとき恒等式が成り立つから
5-cd-c=0
c(d+1)=5
(d-4)x+(a+d)y=0
x=1,y=0のとき恒等式が成り立つから
d-4=0
d=4
c=5/(d+1)=1
e=c+1=2
b=-ce=-2
x=0,y=1のとき恒等式(d-4)x+(a+d)y=0が成り立つから
a+d=0
a=-d=-4
∴a=-4,b=-2,c=1,d=4,e=2

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2010/09/11 17:46

右辺の (x+y-x) は、書き違いだと思いますが…

いづれにしろ、(x,y) を何か 4 組代入して、
a,b,c,d の連立一次方程式にしてしまったほうが
簡単です。
展開して両辺を比較するのは、
最後にヒトコトやったふりしておけば十分。

No.1 回答者： tomokoich 回答日時： 2010/09/11 17:30

右辺を展開して左辺と同じ項でまとめると、あとはa,b,c,d,eが求められますよ。

（問題の式にdが見当たらないのでこれしか説明できませんが・・・右辺のbがｄのことかな？）

xyの項は左辺ー3で右辺１－dならｄは４ですよね。
後は同じ要領で・・・