三角比 弧度法の分母

三角比 弧度法の分母


弧度法の分母 １ ２ ３ ４ ６
｜sinθ｜ 0 1 √3/2 √2/2 1/2
|cosθ| 1 0 1/2 √2/2 √3/2


教えてほしいところ
tanθは省略しましたが、先生から弧度法の分母に着目して|sinθ||cosθ｜を考えろと言われたんですが、確かに問題を解いていてこれは便利のテクニックだなと思いました。しかし、何故こう言えるのかわかりません。
例えば、931π/6のsinθの絶対値は本当に1/2か不安です。
だれか、こういえることを説明できる方いますか？？

No.5 ベストアンサー 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/09/22 00:46

#4です。

表というよりも、図で覚えた方が役に立ちそうな・・・
わたしが昔々高校生のときは、方眼紙に添付のような単位円の図を描いて教科書にはさんでいました。
（少し字がつぶれてしまっているかもしれません。）

何かのたびに見たりして、実際の試験では単位円を描いて角度を考えていました。
というか、いまでもそうやって考えてますね。＾＾；

＞931π/6のsinθの絶対値は本当に1/2か不安です。
2πで 1周ですから、2πで割ったあまりの角度で考えればよいことになりますね。

No.8 回答者： sak_sak 回答日時： 2010/09/25 01:12

数学IIの教科書(加法定理より前の一般角の辺り)に

　sin(360°+A)=sinA …(1)
とあると思います(Aでなくθかも)。
　sin(360°+B)=sinB …(2)
ここで、B=360°+Aとすれば(1)と(2)から
　sin(360°×2+A)=sin(360°+A+A)=sin(360°+B)=sinB=sin(360°+A)=sinA
が得られます。これを続ければ、自然数nについて
　sin(360°×n+A)=sinA
が言えることがわかると思います。360°=2πですから
　sin(2π×n+A)=sinA
が言えます。これを使うと
　sin(2π×77+7π/6)=sin(7π/6)
となります。また教科書をみてもらうと
　sin(180°+A)=-sinA
というのがあると思いますから、これを使えば
　sin(7π/6)=sin(π+π/6)=-sin(π/6)=-1/2
となります。

No.7 回答者： nattocurry 回答日時： 2010/09/24 18:37

訂正です。

931π/6＝155π＋π/6＝154π＋7π/6＝2π×77＋7π/6
なので、
sin(931π/6)＝sin(2π×77＋7π/6)＝sin(7π/6)＝-1/2
でした。

No.6 回答者： nattocurry 回答日時： 2010/09/24 17:53

#2さんへの補足で、

> できれば、このまま丸暗記せず、どうしてこのようなことが言える理解して覚えたいんですが、説明できませんか？？

と書いてありますが、先生が教えたテクニックは、「どうしてこのようなことが言えるか理解」出来ない人のための、丸暗記テクニックだと思いますよ。

理解できるなら、これは覚える必要は無いと思いますよ。

π＝180°
は解りますよね？
であれば、
π/2＝90°
π/3＝60°
π/4＝45°
π/6＝30°
も簡単に解りますよね。

あとは、二つの三角定規の形である、正三角形と直角二等辺三角形の辺の比が解っていさえすれば、この5つの角度のsin値、cos値、tan値は簡単に解ります。

半径が1、中心が原点の円で、角度がθの位置にある円周上の点の座標は、(cosθ、sinθ)になります。
cosθ＝x成分/半径
sinθ＝y成分/半径
です。

こういうことを理解していれば、先生が教えてくれた「丸暗記テクニック」は必要ないと思いますよ。

これを理解したいのであれば、このテクニックを覚える必要は無いです。
このテクニックを覚えたいのであれば、理解する必要は無いです。

θ＝931π/6のときのsinθは・・・・・・とここまで書いて、分母のテクニックの意味が解りました。

なるほど、そういうことですか。
面白いですね。
「どうしてこのようなことが言えるか」というのが問題なら、面白いです。
が、これを有効活用できるとは思えませんねぇ・・・

sinθは周期関数なので、sin931π/6＝sinπ/6となることさえ解っていれば、この丸暗記テクニックは必要ないですよね？

sinθの絶対値を求める、という問題に限っては、このテクニックは有効だとは思いますが、あくまでも応用レベルであって、覚えるものでは無いですね。



でも、どうしても理解したいのであれば、
sinθは、
分母が6の場合、0/6＝0、2/6＝1/3、3/6＝1/2、4/6＝2/3、6/6＝1、となり、分母が6のままなのは1/6と5/6だけ。
θがπ/6と5π/6のときのsinθは1/2で、θが-π/6と-5π/6のときのsinθは-1/2
分母が6以外の場合も同様に考えてみましょう。

No.4 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/09/20 20:39

#2です。

数Ｉの範囲なのか、数ＩＩの範囲なのかで説明が変わってきますね・・・

「三角関数の加法定理」ということを習うと「半角の公式」が出てきます。
これを用いれば、π/12などといった角度の値を求めることができます。

π/5については、正五角形や頂角36度の二等辺三角形を考えると求められます。
これはよく教科書の応用問題として出てくる問題ですし、入試問題でもちょくちょく扱われます。

この回答への補足

数IIですが未だ三角関数のコドホウとか習ったんばっかで三角関数のグラフとか未だやってません（汗）。まだ加法定理とか習ってないんでそのときにそれは考えるとして、
今回、僕が質問した表が成り立つことを説明していただきたいです。
生意気言ってすいません。

補足日時：2010/09/21 18:34

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2010/09/20 00:42

sinθは周期「2π」の周期関数だから2πの整数倍を引いてもsinの値は変わらないから

931π/6=(6*154+6+1)π/6=2π*77+π+(π/6)
なので

sin(931π/6)=sin(π+π/6)

公式　sin(π+θ)=-sinθ　より
sin(π+π/6)=-sin(π/6)

ここで
sin(π/6)=1/2　なので

|sin(931π/6)|=|sin(π+π/6)|=|-sin(π/6)|=|sin(π/6)|=|1/2|=1/2
となります。

したがって
>931π/6のsinθの絶対値は本当に1/2か不安です。
これは合っています。

No.2 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/09/20 00:17

こんばんわ。

π/2（90度）、π/3（60度）、π/4（45度）、π/6（30度）と、
よく使う角度が出てくるからってことですよね。
テクニックというよりも、高校数学で具体的に扱える角度は、それらの角度しかないってことですね。＾＾

ただ、π/5（36度）や上の角度の半分というのも扱うこともあります。
ですので、これだけとは思わないようにしてくださいね。

この回答への補足

これだけではないんですね。
できれば、このまま丸暗記せず、どうしてこのようなことが言える理解して覚えたいんですが、説明できませんか？？

補足日時：2010/09/20 08:04

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/09/19 23:22

それぞれを分母とする既約分数 (1 を「分母」にしたら「分数」にならない, という突っ込みは無視) において, 分子がどのような値

をとりうるのかを考え, あとは絵を描く.