第2可算公理が成立すると第1可算公理が成立します。ところで、その逆「第

第2可算公理が成立すると第1可算公理が成立します。ところで、その逆「第1可算公理が成立するが第2可算公理が成立する」は必ずしも言えないのでしょうか。それはどのような場合でしょうか。

No.4 ベストアンサー 回答者： rinkun 回答日時： 2010/09/21 17:56

第一可算公理は、各点の近傍基が可算ですから、点ごとの性質です。

第二可算公理は開基が可算ですから、全体の性質です。
だから、非可算個の点が広い範囲に広がっていれば第一可算公理は成り立って第二可算公理が成り立たない場合もあります。ANo.3に書かれている実数Rに離散位相を入れた例は点をばらばらにした例です。この空間は可分でなく、距離化可能なので第二可算公理は満たしません。
# 距離空間では可分と第二可算公理は同値

なお、第一可算公理が成り立って可分でも第二可算公理が成り立たないこともあります。ANo.2に書かれたゾルゲンフライ直線(Sorgenfrey line)がその例です。ゾルゲンフライ直線は実数に半開区間からなる位相を入れたもので、色々と変な性質を持っているので位相空間論ではよく出てきます。覚えておいて損はないでしょう。
# 参考 http://www.math.tsukuba.ac.jp/~pen/topology1/top …

この回答へのお礼

近傍基底と開基底との違いから説き起こして頂きとても分かりやすい回答です。
有難うございました。

お礼日時：2010/09/21 18:20

No.3 回答者： muturajcp 回答日時： 2010/09/21 03:42

R=(全実数)

2^R={S:S⊂R}=(実数の部分集合全体)
とすると
(R,2^R)は非可算離散位相空間で
x∈Rに対して
V(x)={{x}}とすると
x∈U開⊂Rとなる任意のUに対して
x∈{x}⊂U,{x}∈V(x)だから
V(x)={{x}}は要素数1(可算)の基本近傍系となるから
(R,2^R)は第1可算公理を満たす

Bを(R,2^R)の基底とすると
x∈R　に対して
{x}開⊂R　だから
x∈V⊂{x},V∈B となる　V　が存在し
　{x}=V∈Bとなるから
|R|≦|B|
Bは非可算となるから
第2可算公理を満たさない

この回答へのお礼

実例の提示を有難うございました。じっくりと説明を辿って理解しようと努力してます。

お礼日時：2010/09/21 18:27

No.2 回答者： kabaokaba 回答日時： 2010/09/20 14:27

ソージェンフリー直線

No.1 回答者： noname#152421 回答日時： 2010/09/20 14:11

たとえば、可分でない位相空間。