マルコフ情報源のエントロピーレートの導出方法について教えて下さい。

マルコフ情報源のエントロピーレートの導出方法について教えて下さい。

大学の過去問です。
解答が無いので自力で解かなければならないのですが、行き詰まってしまいました。
もし助けて頂ければ助かります。

状態A,B,Cを行き来する定常的マルコフ情報源のエントロピーレートを求める問題です。

状態遷移確立がそれぞれ

P(A|A)=0.4 P(B|B)=0.5 P(C|C)=0.8
P(A|B)=0.25 P(B|A)=0.3 P(C|B)=0.25
P(A|C)=0.1 P(B|C)=0.1 P(C|A)=0.3

で与えられています。

自分の考える解き方の大筋としては
(1)　定常分布の式を立てる
(2)　(1)よりそれぞれの定常確率を求める
(3)　系のエントロピーを求める
(4)　(2)、(3)とマルコフ情報源のエントロピーレート導出の
　　公式により解を求める
という感じです。

(1)において
P(A)=P(A)*0.4+P(B)*0.25+P(C)*0.1
P(B)=P(A)*0.3+P(B)*0.5+P(C)*0.1
P(C)=P(A)*0.3+P(B)*0.25+P(C)*0.8
P(A)+P(B)+P(C)=1
の連立方程式を立て、解こうと試みたのですが。
解を得る事が出来ません。
http://www.usamimi.info/~geko/arch_acade/elf001_ …
のプログラムでの演算も試してみましたがやはり解を得られませんでした。

自分の計算式に何か間違いがあるのでしょうか？
また自分の解法自体にも問題がありましたらご指摘をお願い致します。

今回、情報理論を初めて勉強しているもので、もしかして全く見当違いの質問かも
しれませんが、宜しくお願い致します。

No.2 回答者： loboskobay 回答日時： 2010/09/28 10:46

A+B+C==1 の条件を見逃していました

sum([-0.2956562, -0.35478744,-0.88696859])
===============================
-1.53741223

なんで、A+B+C==1 の条件を満たすベクトルは下の値になります。

~[-0.2956562, -0.35478744,-0.88696859]/-1.53741223
===============================
[ 0.19230769 0.23076923 0.57692307]
---- ClTensor ----

No.1 回答者： loboskobay 回答日時： 2010/09/28 10:35

エントロピーレートについては知りませんが、方程式は解けます。

使うソフトを間違えています。

------------------------------------------------

mt=~[[0.4,0.25,0.1],[0.3,0.5,0.1],[0.3,0.25,0.8]]
===============================
[[ 0.4 0.25 0.1 ]
[ 0.3 0.5 0.1 ]
[ 0.3 0.25 0.8 ]]
---- ClTensor ----

の行列に対して、下の式を満たす A,B,C を求めよという問題です。

mt=~[[0.4,0.25,0.1],[0.3,0.5,0.1],[0.3,0.25,0.8]]; mt [A,B,C] == ~[A,B,C]

即ち、上の mt に対して固有値 1 のベクトルが存在するので、それを求めよという問題です。

上の mt の固有値と固有ベクトルを計算してみます
mt=~[[0.4,0.25,0.1],[0.3,0.5,0.1],[0.3,0.25,0.8]]; eig(mt)
===============================
(ClTensor([ 1. , 0.16972244, 0.53027756]),
ClTensor([[-0.2956562 , -0.75130448, -0.31970025],
[-0.35478744, 0.65252078, -0.49079864],
[-0.88696859, 0.0987837 , 0.81049889]]))

確かに固有値 1 が存在しました。

それに対応する固有ベクトルは mt [A,B,C] == [A,B,C] の関係を、下のように満たしています

mt=~[[0.4,0.25,0.1],[0.3,0.5,0.1],[0.3,0.25,0.8]]; mt [-0.2956562 ,-0.35478744,-0.88696859]
===============================
[-0.2956562 -0.35478744 -0.88696859]
---- ClTensor ----