No.3ベストアンサー
- 回答日時:
(s+t)a+sb+3tc=2a+b+5c
(a,b)=|a||b|cosθ=cosθ
(a,c)=|a||c|cosθ=cosθ
[1]
(a,b)=0
(a,c)=0
(s+t-2)a+(s-1)b+(3t-5)c=0
(a,(s+t-2)a+(s-1)b+(3t-5)c)=(s+t-2)|a|^2=s+t-2=0
s+t=2
(s-1)b+(3t-5)c=0
(1-t)b+(3t-5)c=0
(3t-5)c=(t-1)b
(3t-5)^2=(t-1)^2
(2t-3)(t-2)=0
t=3/2又はt=2
t=3/2 のとき s=1/2,c=-b
t=2 のとき s=0,c=b
(s,t)=(0,2)又は(s,t)=(1/2,3/2)
[2]
(s+t)a+sb+3tc=2a+b+5cを満たすs,tが存在すると仮定すると
(s+t-2)a+(s-1)b+(3t-5)c=0
だから
(a,(s+t-2)a+(s-1)b+(3t-5)c)=0
(c-b,(s+t-2)a+(s-1)b+(3t-5)c)=0
を満たすs,tが存在する
(b,c)=cos2θ
(a,(s+t-2)a+(s-1)b+(3t-5)c)=s(1+cosθ)+t(1+3cosθ)-2(1+3cosθ)
(c-b,(s+t-2)a+(s-1)b+(3t-5)c)=(3t-s-4)(1-cos2θ)
だから
s(1+cosθ)+t(1+3cosθ)-2(1+3cosθ)=0
3t-s-4=0
t(2+3cosθ)=3+5cosθ
となる
cosθ=-2/3 とすると
1-cos2θ=10/9
(a,(s+t-2)a+(s-1)b+(3t-5)c)=(s-3t+6)/3
(c-b,(s+t-2)a+(s-1)b+(3t-5)c)=(3t-s-4)10/9
だから
(s-3t+6)/3=0のとき(3t-s-4)10/9=20/9≠0
(3t-s-4)10/9=0のとき(s-3t+6)/3=2/3≠0
(s-3t+6)/3=0&(3t-s-4)10/9=0となるs,tは存在しない
(s+t)a+sb+3tc=2a+b+5cとなるs,tは存在しない
∴
cosθ=-2/3
No.2
- 回答日時:
小問の(1)と式番号の(1)が混乱するので例えば式番号は(1)を使い、小問番号は[1]などとすると良い。
[1]
問題の条件から
「a・b=0 かつ a・c=0」
「a・a=1, b・b=1, c・c=1」
(・は内積を表す)
などがいえます。
(1)の両辺とaの内積をとれば
s+t=2…(A)
(1)の両辺とbの内積をとれば
s+3tb・c=1+5b・c →s+3t=6 または s-3t=-4
(A)から s=0,t=2 または s=1/2,t=3/2
(1)でs=0,t=2とすると 6c=5c cはゼロベクトルでないからこのケースは存在しない。
(1)でs=1/2,t=3/2…(B)とすると b+c=0…(C)
(1)の両辺とcの内積をとれば
sb・c+3t=b・c+5
(C)を代入
-1/2+9/2=-1+5で満たしている。
(B)が(1)の答え
[2]
(s+t)a+sb+3tc=2a+b+5c …(1)
aと内積をとると
(s+t)+(s+3t)cosθ=2+(2+5)cosθ
(s+3t-7)cosθ=2-s-t
cosθ=(2-s-t)/(s+3t-7)(s+3t-7≠0)…(D)
0°<θ<180°では|cosθ|<1なので
|(2-s-t)/(s+3t-7)|≧1(s+3t-7≠0)…(E)のとき(1)を満たす実数s,tが存在しない。
(E)のとき のcosθは存在しないので cosθを求められませんね。
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